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$n\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{x}dy}{(1+y)^{n-1}}}={\frac {x\,.\,x-1\ldots 1}{n-1\,.\,n-2\ldots n-x}}\,;$

en divisant l’équation précédente par celle-ci, et faisant, pour abréger,

$n{\frac {y^{x}}{(1+y)^{n-1}}}=\mathrm {Y} ,$

on en conclut

${\frac {\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {Y} dy}{\int _{0}^{\infty }\mathrm {Y} dy}}=$

${\frac {1}{(1+\alpha )^{n-1}}}\left[1+(n-x){\frac {\alpha }{(1+\alpha )}}+{\frac {(n-x)(n-x+1)}{1.2}}{\frac {\alpha }{(1+\alpha )^{2}}}\right.$

$\left.\ldots +{\frac {(n-x)(n-x+1)\ldots (n-1)}{1.2.3\ldots x}}{\frac {\alpha ^{x}}{(1+\alpha )^{x}}}\right]\,;$

or, si l’on prend $\alpha ={\frac {p}{q}},$ et si l’on observe que $p+q=1,$ le second membre de cette dernière équation coïncide avec la formule (2) : pour cette valeur de $\alpha ,$ nous aurons donc

$\mathrm {X} ={\frac {\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {Y} dy}{\int _{0}^{\infty }\mathrm {Y} dy}}.$

(3)

(4) Pour réduire en séries, les intégrales contenues dans cette nouvelle expression de $\mathrm {X} ,$ j’appelle $h$ la valeur de $y$ qui rend $\mathrm {Y}$ un maximum : en égalant $d\mathrm {Y}$ à zéro, on a

$x(1+h)-(n+1)h=0\,;$

et si l’on appelle $\mathrm {H}$ la valeur correspondante de $\mathrm {Y} ,$ on aura

$h={\frac {x}{n-1-x}},\qquad \mathrm {H} ={\frac {x^{x}(n+1-x)^{n+1-x}}{(n+1)^{nx}}}.$

La fonction $\mathrm {Y}$ n’est infinie pour aucune valeur positive de $y,;$