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${\begin{aligned}&1.2.3\ldots n=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+{\text{etc}}.\right)\\&1.2.3\ldots x=x^{x}e^{-x}{\sqrt {2\pi x}}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}+{\text{etc}}.\right)\\&1.2.3\ldots n-x=(n-x)^{x}e^{-n+x}{\sqrt {2\pi (n-x)}}\left(1+{\frac {1}{12(n-x)}}\right.\end{aligned}}$

$\left.+{\frac {1}{288(n-x)^{2}}}+{\text{etc}}.\right)\,;$

$e$ désignant la base des logarithmes népériens, et $\pi$ le rapport de la circonférence au diamètre, ce qui aura lieu dans tout ce Mémoire. Les séries comprises entre les parenthèses sont d’autant plus convergentes que les nombres $n,x,n-x,$ sont plus grands ; en ne conservant que le premier terme de chaque série, on en conclura

$\mathrm {P} =\left({\frac {pn}{x}}\right)^{x}\left({\frac {qn}{n-x}}\right)^{n-x}{\sqrt {\frac {n}{2\pi x(n-x)}}},\qquad (1)$

pour la valeur approchée de $\mathrm {P}$ qui nous sera utile par la suite.

(2) Désignons maintenant par $\mathrm {X}$ la probabilité que $\mathrm {A}$ n’arrivera pas plus de $x$ fois sur le nombre $n$ d’épreuves, et appelons $\mathrm {C}$ cet événement composé. Il aura lieu des $x+1$ manières suivantes :

1^o Si les $n-x$ premières épreuves amènent $\mathrm {B} \,;$ car alors il ne restera plus que $x$ épreuves qui ne pourront pas amener $\mathrm {A}$ plus de $x$ fois. La probabilité de ce premier cas sera $q^{m},$ en faisant $n-x=m.$

2^o Si les $m+1$ premières épreuves amènent $m$ fois $\mathrm {B}$ et une fois $\mathrm {A} ,$ sans que $\mathrm {A}$ occupe la dernière place, condition nécessaire pour que ce second cas ne rentre pas dans le premier. Il est évident qu’alors les $x-1$ épreuves suivantes ne