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Soient $\mathrm {H,H'}$ les latitudes, et $\mathrm {P,P} '$ les longitudes de deux points quelconques d’un ellipsoïde de révolution dont $\alpha$ est l’aplatissement, $\mathrm {Q}$ le quart du méridien et $\mathrm {R}$ le rayon de l’équateur. Appelons en outre $\mathrm {A}$ la différence des parallèles de ces points, $\mathrm {B}$ celle de leurs méridiens mesurée sur un arc de parallèle passant par le point $\mathrm {H} \,;$ on aura ces deux relations connues

${\begin{aligned}(\mathrm {M} )\qquad \mathrm {A} &=\mathrm {{\frac {Q}{90}}(H'-H)-3\alpha {\frac {Q}{\pi }}\sin .(H'-H)\cos .(H'+H)} \\\mathrm {P'-P} &=\mathrm {{\frac {180.B}{\pi R\cos .H}}\left(1-\alpha \sin .^{2}H\right)} .\end{aligned}}$

dans lesquelles $\pi$ désigne le rapport de la circonférence au diamètre, et les amplitudes sont exprimées en degrés. Si l’on suppose que la latitude $\mathrm {H}$ et la longitude $\mathrm {P}$ sont les deux données fondamentales qui, avec l’azimut de départ, ont servi à calculer $\mathrm {H} '$ et $\mathrm {P} ',$ ces dernières quantités varieront avec $\alpha ,$ et il en sera de même de $\mathrm {Q}$ et de $\mathrm {R} \,;$ ainsi en différenciant et négligeant les quantités du second ordre, telles que $\alpha d\alpha ,$ etc., on aura

${\begin{aligned}(\mathrm {I} )\qquad d\mathrm {H} '&={\frac {3.90}{\pi }}d\alpha \sin .(\mathrm {H'-H} )\cos .(\mathrm {H'-H} )-{\frac {d\mathrm {Q} }{\mathrm {Q} }}(\mathrm {H'-H} ),\\d\mathrm {P} '&=-(\mathrm {P'-P} )\left[d\alpha \sin .^{2}\mathrm {H} \left(1+\alpha \sin .^{2}\mathrm {H} \right)+{\frac {d\mathrm {R} }{\mathrm {R} }}\right]\,;\end{aligned}}$

et à cause de $\mathrm {R} ={\frac {2\mathrm {Q} }{\pi }}\left(1+{\frac {1}{2}}\alpha \right)$ il viendra

${\frac {d\mathrm {R} }{\mathrm {R} }}={\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {d\mathrm {Q} }{\mathrm {Q} }}\,;$

de là

(II)

$d\mathrm {P} '=-(\mathrm {P'-P} )d\alpha \left(\sin .^{2}\mathrm {H} +{\frac {1}{2}}\right)-(\mathrm {P'-P} ){\frac {d\mathrm {Q} }{\mathrm {Q} }}.$