les valeurs de
à celles que déterminent les formules
(18)
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On devra donc alors intégrer les équations simultanées (15) et (16), de manière que les conditions (18) soient remplies pour ![{\displaystyle t=t_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97de8a1e6c41d2310938a0dcdc51f8f7a4c5fb2f)
Pour appliquer à un exemple fort simple les principes que nous venons d’établir, supposons qu’il s’agisse d’intégrer l’équation
![{\displaystyle x{\frac {d\varphi }{dx}}+y{\frac {d\varphi }{dy}}+\ldots +t{\frac {d\varphi }{dt}}-a\varphi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1ce5965aed1d91e8efafb647def40a19c08e09)
de manière que l’on ait
pour
Dans ce cas particulier on trouvera
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}\mathrm {X} =&x,\quad &\mathrm {Y} =&y,\quad &\mathrm {T} =&t,\quad &\mathrm {K} =&-a,\quad &f(x,y,\ldots t)=&0,\\\mathrm {U} =&u,&\mathrm {V} =&v,&\mathrm {W} =&t,&\mathrm {S} =&-a,&f(u,v,\ldots t)=&0\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8083f99e097f2dda955093bce7438a0c88b381ce)
et par suite les équations (15) et (16) deviendront
![{\displaystyle u-t{\frac {du}{dt}}=0,\qquad v-t{\frac {dv}{dt}}=0,\quad {\text{etc}}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac4f2ccaf9b18227065e3c8c1a5e4006825330d)
![{\displaystyle -(a+n)\psi +t{\frac {d\psi }{dt}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7920a5b0f519ab26331403cb77eef4704f11511)
En intégrant celles-ci de manière que les conditions (18) soient vérifiées pour
on trouvera
![{\displaystyle u=\mu t,\qquad v=\nu t,\ldots \psi =t^{a+n}f_{0}(\mu ,\nu \ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87191ece6f8a85f543a6828ecb5c11975b9b9115)
Cela posé, la formule (10) donnera