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de manière que la variable principale $\varphi$ se réduise à

(8)

f_{0}(x,y,z\ldots ),

pour $t=t_{0}.$ On présentera l’équation (7) sous la forme

(9)

\mathrm {K} \varphi +\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d(\mathrm {X} \varphi )}{dx}}+{\frac {d(\mathrm {Y} \varphi )}{dy}}+\ldots +{\frac {d(\mathrm {T} \varphi )}{dt}}\\&-\varphi {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}-\varphi {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}-\ldots -\varphi {\frac {d\mathrm {T} }{dt}}\end{aligned}}\right\}=f(x,y,z\ldots t).

et la valeur inconnue de $\varphi$ sous la forme

(10)

\varphi =\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-u){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-v){\sqrt {-1}}}\ldots \psi d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots

\left\{{\begin{alignedat}{4}\alpha =&-\infty ,\quad &\beta =&-\infty ,\ldots &\mu =&\mu ',\quad &\nu =&\nu '\ldots \\\alpha =&+\infty ,&\beta =&+\infty ,\ldots &\mu =&\mu '',&\nu =&\nu ''\ldots \end{alignedat}}\right\}.

$u,v\ldots \psi$ étant des quantités que l’on supposera fonctions des variables $\mu ,\nu \ldots$ et $t.$ Soient d’ailleurs

\mathrm {S,U,V\ldots W} ,

ce que devienoent

\mathrm {K,X,Y\ldots T} ,

quand on y remplace $x$ par $u,$ $y$ par $v\ldots .$ On tirera des équations (5) et (10),

(11)\left\{{\begin{aligned}\mathrm {K} \varphi &=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-u){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-v){\sqrt {-1}}}\ldots \mathrm {S} \psi d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots ,\\\mathrm {X} \varphi &=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-u){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-v){\sqrt {-1}}}\ldots \mathrm {U} \psi d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots ,\\\mathrm {Y} \varphi &=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-u){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-v){\sqrt {-1}}}\ldots \mathrm {V} \psi d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots ,\\{\text{etc}}.&\ldots \\\mathrm {T} \varphi &=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\iiint \ldots e^{\alpha (x-u){\sqrt {-1}}}e^{\beta (y-v){\sqrt {-1}}}\ldots \mathrm {W} \psi d\alpha d\mu d\beta d\nu \ldots \end{aligned}}\right.