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et si l’on suppose que toute racine réelle d’une quelconque de ces équations étant substituée dans celle qui la précède et dans celle qui la suit, donne deux résultats de signe contraire ; il est certain que la proposée $\mathrm {X} =0$ a toutes ses racines réelles, et que par conséquent il en est de même de toutes les équations subordonnées

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\qquad {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,$ etc.

C’est cette règle, ainsi énoncée, que M. Fourier a étendue, jusqu’à présent sans démonstration, à toutes les équations transcendantes ; et pour montrer qu’elle ne s’y applique pas sans restriction, j’ai cité cet exemple :

$\mathrm {X} =e^{x}-be^{ax}=0,$

$e$ désignant la base des logarithmes népériens, et $a$ et $b$ étant des constantes données, que je supposerai toutes deux positives.

On aura dans ce cas

${\begin{aligned}&{\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}=e^{x}-ba^{n}e^{ax},\\&{\frac {d^{n+1}\mathrm {X} }{dx^{n+1}}}=e^{x}-ba^{n+1}e^{ax},\\&{\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}}=e^{x}-ba^{n+2}e^{ax},\end{aligned}}$

$n$ étant un nombre entier quelconque ou zéro ; en éliminant l’une des deux exponentielles au moyen de l’équation :