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données ; et faisons en conséquence

$r=a(1+u),$

$a$ étant une constante et $u$ une variable très petite dont nous négligerons les puissances supérieures à la première. Il en résultera

${\begin{aligned}&ds=a(1+u)d\theta ,\\&{\frac {dx}{y}}=-d\theta +{\frac {\cos .\theta }{\sin .\theta }}du,\\&{\frac {dyd^{2}x-dxd^{2}y}{ds^{2}}}=\left({\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}-1\right)d\theta \,;\end{aligned}}$

et au moyen de ces différentes valeurs, l’équation (b) deviendra

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+{\frac {\cos .\theta }{\sin .\theta }}{\frac {du}{d\theta }}-b\,a\,u=2+ba.$

On fera disparaître son second membre, en diminuant $u$ d’une constante égale à ${\frac {ba+2}{ba}}\,;$ et si l’on veut que toute la partie constante du rayon $r$ soit comprise dans le terme $a$ de sa valeur, il faudra déterminer la constante $b$ de manière que cette diminution soit nulle, ou prendra $b=-{\frac {2}{a}}.$ Si l’on fait en même temps $u=v\cos .\theta ,$ l’équation précédente se réduira à

${\frac {d^{2}v}{d\theta ^{2}}}+\left({\frac {\cos .\theta }{\sin .\theta }}-{\frac {2\sin .\theta }{\cos .\theta }}\right){\frac {dv}{d\theta }}=0\,;$

d’où l’on tire, en intégrant et désignant par $c$ et $c'$ les deux constantes arbitraires :

$v=c+c'\cos .\theta +{\frac {c'}{2}}\log .{\frac {1-\cos .\theta }{1+\cos .\theta }}.$