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et si l’on compare la force $\varphi r$ à celle que nous avons représentée par $\mathrm {R} ,$ on a

$\varphi r=-{\frac {\rho ^{2}\mathrm {R} }{m^{2}}}.$

En intégrant par partie et supprimant les termes compris hors des signes $\int ,$ qui disparaissent par la nature des fonctions $\Psi r$ et $\Pi r,$ il vient

$\int r\Psi rdr={\frac {1}{2}}\int r^{3}\Pi rdr={\frac {1}{8}}\int r^{4}\varphi rdr\,;$

on aura donc

$\int r\Psi rdr=-{\frac {\rho ^{2}}{8m^{2}}}\int r^{4}\mathrm {R} dr\,;$

ce qui fait coïncider ensemble les deux valeurs de la quantité $\mu .$

(35) Il est évident qu’un volume déterminé d’un fluide homogène, dont les points ne sont sollicités, ni par la pésanteur, ni par aucune autre force donnée, et dont la surface est entièrement libre et soumise à une pression constante, demeurera en équilibre si on lui fait prendre la forme sphérique ; mais pour savoir s’il y a d’autres figures d’équilibre possibles, il faut intégrer l’équation (1), et exclure ensuite toutes les surfaces qui s’étendraient indéfiniment ; car le volume du fluide étant donné, sa surface doit être limitée de toutes parts. Ce serait une question difficile à résoudre d’une manière générale ; nous nous bornerons à faire voir qu’il n’existe qu’une seule figure d’équilibre possible, parmi les sphéroïdes de révolution très-peu différents d’une sphère, et que cette figure est celle de la sphère elle-même.