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en supprimant, comme absolument insensibles, les termes compris hors des signes $\sum \,:$ la nouvelle variable $v$ croîtra par des différences égales à $\varepsilon ,$ et les sommes qui s’y rapportent s’étendront depuis $v=0$ jusqu’à $v=l,$ ou depuis $v=0$ jusqu’à $v=\infty ,$ d’après la nature de la fonction $\operatorname {F} v.$

Je prends la quantité ${\frac {1}{r}}\mathrm {R}$ pour la fonction $\operatorname {F} (s-s')\,;$ et en faisant

$s-s'=v,\qquad r^{2}=u^{2}+v^{2},$

l’expression de $h$ devient

$h=\pi \sum {\frac {u^{3}v\mathrm {R} }{\varepsilon ^{4}r}}-\pi l\sum {\frac {u^{3}\mathrm {R} }{\varepsilon ^{4}r}}.$

Je remplace les variables $u$ et $v$ auxquelles ces nouvelles sommes répondent, par le rayon vecteur $r$ et l’angle qu’il fait avec sa projection, angle que je désigne par $\theta ,$ en sorte qu’on ait

$u=r\cos .\theta ,\qquad v=r\sin .\theta .$

Les sommes relatives à l’angle $\theta$ se changeront comme dans le n^o 15, en intégrales prises depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta ={\frac {1}{2}}\pi ,$ après qu’on aura multiplié sous les signes $\sum ,$ par la différence de $\theta$ et par le rapport ${\frac {r}{\varepsilon }}.$ À cause de

$\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos .^{3}\theta d\theta ={\frac {2}{3}},\qquad \int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos .^{3}\theta \sin .\theta d\theta ={\frac {1}{4}},$

il en résultera

$h={\frac {\pi }{4}}\sum {\frac {r^{4}\mathrm {R} }{\varepsilon ^{5}}}-{\frac {2\pi l}{3}}\sum {\frac {r^{3}\mathrm {R} }{\varepsilon ^{5}}}=-2q-lp\,;$

$p$ et $q$ étant les quantités données par les formules (6) du