Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 9.djvu/288

d’où il résulte

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}&={\frac {1}{v^{2}}}\left(1+{\frac {dz^{2}}{dy^{2}}}\right){\frac {dq}{dx}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dx}}{\frac {dz}{dy}}{\frac {dq}{dy}}-{\frac {1}{v}}{\frac {dz}{dx}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {Y} _{1}&={\frac {1}{v^{2}}}\left(1+{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}\right){\frac {dq}{dy}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dx}}{\frac {dz}{dy}}{\frac {dq}{dx}}-{\frac {1}{v}}{\frac {dz}{dy}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {Z} _{1}&={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dx}}{\frac {dq}{dx}}+{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dy}}{\frac {dq}{dy}}+{\frac {1}{v}}\mathrm {V} \,;\end{aligned}}$

et en y mettant pour $\mathrm {V}$ sa valeur donnée par l’équation (9), ces équations peuvent s’écrire sous la forme :

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {X} _{1}&={\frac {1}{v}}{\frac {d.{\cfrac {q}{v}}\left(1+{\cfrac {dz^{2}}{dy^{2}}}\right)}{dx}}-{\cfrac {1}{v}}{\cfrac {d.{\cfrac {q}{v}}{\cfrac {dz}{dx}}{\cfrac {dz}{dy}}}{dy}},\qquad \\\mathrm {Y} _{1}&={\frac {1}{v}}{\frac {d.{\cfrac {q}{v}}\left(1+{\cfrac {dz^{2}}{dx^{2}}}\right)}{dy}}-{\cfrac {1}{v}}{\cfrac {d.{\cfrac {q}{v}}{\cfrac {dz}{dx}}{\cfrac {dz}{dy}}}{dx}},\\\mathrm {Z} _{1}&={\frac {1}{v}}{\frac {d.{\cfrac {q}{v}}{\cfrac {dz}{dx}}}{dx}}+{\cfrac {1}{v}}{\cfrac {d.{\cfrac {q}{v}}{\cfrac {dz}{dy}}}{dy}}.\end{aligned}}\right\}\quad (11)$

Ainsi, la pression rapportée à l’unité de surface et exercée en chaque point de la superficie de $\mathrm {A}$ par le fluide environnant, se compose de deux parties : l’une égale à $p,$ normale et dirigée de dehors en dedans ; l’autre dont les composantes suivant les axes des $x,y,z,$ sont les forces $\mathrm {X_{1},Y_{1},Z_{1}} ,$ données par les équations (11). On suppose $\mathrm {A}$ enveloppé en entier, et tous les points de sa surface à une distance sensible de celle du fluide. Or, d’après ce qu’on a vu dans le n^o 10, la pression $p$ fait équilibre aux forces données qui agissent sur tous les points de $\mathrm {A} \,;$ il faudra donc que les forces $\mathrm {X_{1},Y_{1},Z_{1}} ,$ appliquées sur tous les points de sa surface, se fassent équilibre sans le secours d’aucune autre force : c’est effectivement ce que nous allons vérifier dans le numéro suivant.