ce qui fera disparaître
dans les expression précédentes de
et
et réduira à
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {dq}{dx}}a+{\frac {dq}{dy}}a',\qquad \mathrm {T} '={\frac {dq}{dx}}b+{\frac {dq}{dy}}b',\qquad (10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655007031dee2210884938c44be94a159f44b5d6)
celles des forces tangentielles
et ![{\displaystyle \mathrm {T} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f2a69da0e0c23382ad40e24021e25cf8f32e5a)
(18) Nous pouvons remplacer les trois forces
dont les directions varient avec le point
par d’autres qui répondent à des directions fixes et indépendantes de la position de ce point. Pour cela, supposons qu’on ait d’abord pris la résultante de
et qu’on la décompose ensuite suivant les axes des
Soient
ses trois nouvelles composantes ;. nous aurons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} _{1}&=\mathrm {T} a&&+\mathrm {T} 'b&&+\mathrm {V} c,\\\mathrm {Y} _{1}&=\mathrm {T} a'&&+\mathrm {T} 'b'&&+\mathrm {V} c',\\\mathrm {Z} _{1}&=\mathrm {T} a''&&+\mathrm {T} 'b''&&+\mathrm {V} c''.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a28e000450c448fc32214895e6d1b6ede1c350)
Je substitue dans ces formules les valeurs de
et
données par les équations (10), et celles de
j’observe que l’on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a^{2}&&+b^{2}&&=1-c^{2}&&={\frac {1}{v^{2}}}\left(1+{\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}\right),\\&a'^{2}&&+b'^{2}&&=1-c'^{2}&&={\frac {1}{v^{2}}}\left(1+{\frac {dz^{2}}{dy^{2}}}\right),\\&a''^{2}&&+b''^{2}&&=1-c''^{2}&&={\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {dz^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dy^{2}}}\right),\\&aa'&&+bb'&&=-cc'&&=-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dx}}{\frac {dz}{dy}},\\&aa''&&+bb''&&=-cc''&&={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dx}},\\&a'a''&&+b'b''&&=-c'c''&&={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dz}{dy}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d5040c8c7bdfc4325e68a80214228c0280263c)