Les sommes
qu’elles renferment sont actuellement des sommes triples, relatives aux valeurs positives des
que l’on pourra étendre jusqu’à l’infini, à cause qu’il suffit que l’une de ces variables ait acquis une valeur sensible, pour rendre sensible la distance
et insensible la fonction
On pourra aussi faire commencer ces sommes à zéro, quoique les réductions précédentes ne conviennent qu’aux valeurs de
qui sont de très-grands multiples de
mais on observera, comme dans le no 8, que la partie de chaque somme correspondante aux valeurs de
qui ne remplissent pas cette condition, peut être négligée ou rétablie arbitrairement, sans altérer la somme entière d’une manière sensible. Nous étendrons les sommes précédentes depuis zéro jusqu’à l’infini par rapport aux trois variables
qui croîtront par des différences égales entre elles et à
(15) La double somme relative à
et
se réduit à une somme simple par la considération suivante.
Soit
une fonction qui devient insensible dès que la variable a acquis une grandeur sensible. En donnant successivement à chacune des variables
et
la série de valeurs
etc., prolongée jusqu’à l’infini, et à une seule la valeur zéro, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \sum \operatorname {F} (s+s')&=\operatorname {F} \varepsilon +\operatorname {F} 2\varepsilon +\operatorname {F} 3\varepsilon +\operatorname {F} 4\varepsilon +{\text{etc}}.\\&+\operatorname {F} 2\varepsilon +\operatorname {F} 3\varepsilon +\operatorname {F} 4\varepsilon +{\text{etc}}.\\&+\operatorname {F} 3\varepsilon +\operatorname {F} 4\varepsilon +{\text{etc}}.\\&+\operatorname {F} 4\varepsilon +{\text{etc}}.\\&+{\text{etc}}.,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34942568383f9b058cd2cb93c97044d96bc8e572)
ou, ce qui est la même chose,
![{\displaystyle \sum \sum \operatorname {F} (s+s')=\operatorname {F} \varepsilon +2\operatorname {F} 2\varepsilon +3\operatorname {F} 3\varepsilon +4\operatorname {F} 4\varepsilon +{\text{etc}}.\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae0840d75832495530ed92198622c121d2e32aa)