(13) Afin de simplifier les calculs suivants, nous prendrons le plan des
parallèle au plan tangent à cette surface, mené par le point
et, par conséquent, l’axe des
parallèle à la normale en ce même point. Soient alors
les coordonnées de
parallèles aux axes des
et rapportées au point
comine origine. L’ordonnée
sera donnée en fonction de
et
par l’équation de la surface de
en supposant que cette surface ne présente aucune arrète vive près du point
la valeur de
pourra se développer en série très-convergente suivant les puissances et les produits de
et
et si l’on néglige les termes du troisième ordre, et que l’on observe que
s’évanouissent dn en même temps que ces variables, on aura simplement
![{\displaystyle \zeta =\mathrm {E} \eta ^{2}+\mathrm {E} '\eta '^{2}+\mathrm {E} ''\eta \eta '^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f12dd14472c19efb779c244cd1da05c049a8203)
(2)
étant des coefficients qui dépendront de la direction des axes des
et
sur le plan tangent en
et de la courbure de la surface de
au même point. Il est bon d’observer, relativement au signe de
que si l’on suppose, pour fixer les idées, ce plan horisontal et l’axe des
dirigé de bas en haut, l’ordonnée
sera positive ou négative selon que le point
sera au-dessus ou au-dessous de ce même plan.
En négligeant de même les quantités du troisième ordre par rapport à
et observant que
est la perpendiculaire
à la surface de
les coordonnées de son extrémité
rapportées aux mêmes axes que celles du point
de cette surface, auront pour valeurs :
![{\displaystyle \eta +s'{\frac {d\zeta }{d\eta }},\qquad \eta +s'{\frac {d\zeta }{d\eta '}},\qquad -s'+\zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44939fdd7d9444c2a6acfe19fb17313ee16c6622)