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Multiplions la troisième équation (6) par $dx\,dy\,dz,$ puis intégrons ses deux membres, et étendons les intégrales à tous les points de $\mathrm {A} ,$ ce qui donne

$\int \mathrm {Z} dm=\iiint {\frac {dp}{dz}}dx\,dy\,dz..$

Pour fixer les idées, prenons l’axe des $z$ vertical et le plan des $x,y,$ au-dessous de $\mathrm {A} .$ Il y aura un nombre pair de points de la surface qui auront la même projection sur ce plan ; nous supposerons, pour simplifier, qu’il n’y en ait que deux, en sorte que l’équation de la surface de $\mathrm {A}$ ne donne que deux valeurs réelles de $z$ en fonctions de $x$ et $y.$ Circonscrivons à $\mathrm {A} ,$ un cylindre vertical qui touche sa surface suivant une certaine courbe par laquelle cette surface sera divisée en deux parties, correspondantes aux deux expressions de $z.$ Si l’on exécute l’intégration relative à cette variable, on aura

$\int \mathrm {Z} dm=\left(\iint p\,dx\,dy\right)-\left[\iint p\,dx\,dy\right]\,;$

l’intégrale renfermée entre des parenthèses répondant à la partie supérieure, et celle qui est comprise entre des crochets, à la partie inférieure. La normale intérieure à la surface de $\mathrm {A} ,$ fait un angle obtus avec l’axe des $z,$ dans la première partie, et un angle aigu, dans la seconde ; si donc, on désigne cet angle par $c,$ et par $d\sigma$ l’élément différentiel de la surface, qui doit toujours être positif, ainsi que sa projection $dxdy,$ on aura

$dxdy=-\cos .cd\sigma ,\quad {\text{ou}}\quad dxdy=\cos .cd\sigma ,$

selon qu’il s’agira de la partie supérieure ou de la partie inférieure de la surface de $\mathrm {A} .$ D’après cela, nous pourrons