la forme la plus simple de ces fonctions et leur division en trois espèces ; d’où est résulté un système de nomenclature et de notation, propre à représenter ces fonctions dans les usages ordinaires de l’analyse, et à faciliter la recherche de leurs propriétés.
C’est ce système de dénomination qu’Euler avait en vue dans la remarque suivante : « Il importerait surtout de découvrir un ordre de signes propres à exprimer dans le calcul les arcs elliptiques, aussi facilement que l’on y a introduit les logarithmes et les arcs de cercle, notation qui a beaucoup contribué aux progrès de l’analyse. Un tel système de signes donnera lieu à une nouvelle espèce de calcul. » Novi Comment. Petropo. tom. x, p. 4.
Les premières recherches sur les intégrales en arcs d’ellipse ou d’hyperboles sont dues à Maclaurin et d’Alembert. On découvrit ensuite des propriétés fort remarquables de la lemniscate. Euler commença à former une théorie générale ; Lagrange a cultivé avec succès cette branche de l’analyse, et un géomètre anglais y fit une heureuse et singulière découverte qui aurait pu ouvrir une route nouvelle : mais personne n’a entrepris d’accomplir le vœu formé par Euler. L’auteur de ce traité est le seul qui se soit proposé ce but important et il y est heureusement parvenu. Les premières découvertes de M. Legendre datent de 1786. Il n’a point cessé d’approfondir et d’étendre cette théorie ; il en a tellement perfectionné toutes les parties qu’il sera toujours regardé comme le fondateur. Par des efforts renouvelés à de grands intervalles de temps, il a complété presque entièrement la théorie, et il en a rendu l’application facile par des tables fort étendues dont il a exécuté lui-même tous les calculs,
