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ADDITION AU MÉMOIRE

Sur l’équilibre et le mouvement des corps élastiques, inséré
dans ce volume ;

Par M. A. POISSON.

Lu à l’Académie, le 24 novembre 1828.

Je me propose dans cette addition d’intégrer complètement les équations aux différences partielles, relatives aux vibrations d’un corps élastique homogène. En supprimant les forces données $\mathrm {X,Y,Z} ,$ que renferment les équations (6) du n^o 16 de mon Mémoire, on aura

$\left.{\begin{aligned}{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left(3{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+2{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+2{\frac {d^{2}w}{dxdz}}+{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left(3{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+2{\frac {d^{2}u}{dxdy}}+2{\frac {d^{2}w}{dydz}}+{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right),\\{\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}&={\frac {a^{2}}{3}}\left(3{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+2{\frac {d^{2}u}{dxdz}}+2{\frac {d^{2}v}{dydz}}+{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}w}{dy^{2}}}\right)\,;\end{aligned}}\right\}$(1)

et c’est ce système de trois équations à quatre variables indépendantes $x,y,z,t,$ qu’il s’agit d’intégrer.

Si nous faisons

${\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}},\qquad$(2)