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(27)

$\mathrm {U_{T}} ={\frac {x}{\varpi }}ft+{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}\mathrm {T} }\cos .(i\varpi )\sin .i\varpi \left(f0+\int _{0}^{\mathrm {T} }dtf'te^{i^{2}t}\right).$

Ces valeurs de $\mathrm {V_{T}}$ et $\mathrm {U_{T}}$ deviennent nuiles lorsque $t=0,$ quelle que soit la distance $x\,;$ elles conviennent l’une et l’autre au cas où les températures initiales des points intermédiaires de $o$ à $\varpi$ sont supposées nulles. Si l’on détermine séparément, comme nous l’avons dit article 4, l’état variable d’un prisme égal aux deux précédents, et dont les températures initiales pour tous les points intermédiaires sont représentées par une fonction quelconque $\psi x,$ et dont les extrémités $o$ et $\varpi$ sont retenues à la température zéro, on trouve, en désignant par $\mathrm {W_{T}}$ l’expression suivante de l’état où le solide est parvenu après le temps écoulé $T,$

$(28)\quad \mathrm {W_{T}} ={\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}\mathrm {T} }\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }dr\psi r\sin .(ir).$

Il ne reste plus qu’a réunir les solutions des trois questions séparées, et l’on a

(29)

$\mathrm {V_{T}+U_{T}+W_{T}} .$

Ce sont les trois parties de la température eherchée qui avait été désignée par $\mathrm {V_{T}}$ dans les articles 1, 2, etc. On doit mettre pour $\mathrm {V_{T},U_{T},W_{T}}$ leurs valeurs exprimées, par les équations (26), (27), (28), et l’on réproduit ainsi l’équation (1), qui donne la solution complète de la question proposée. Elle fait connaître quel est, après le temps écoulé $\mathrm {T} ,$ l’état du prisme dont les températures initiales aux points intermédiaires de $o$ à $\varpi$ sont exprimées par $\psi r,$ et dont les extrémités $o$ et $\varpi$ sont assujéties aux températures variables $\varphi t$ au point $o$ et $ft$ au point $\varpi .$