![{\displaystyle {\frac {x}{\varpi }}f0-{\frac {2}{\varpi }}f0\left(\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff751e49e88f00983966cc03007b30638077e91)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1}{5}}\sin .5x-{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b803f98f58a55b97f3b0ea0481d2543287177f06)
quantité qui se réduit à zéro parce que la valeur connue de la série est
ainsi les températures initiales sont en effet nulles comme l’exige le calcul.
(10).
Solution générale.
Si, dans la même hypothèse des températures initiales nulles, on suppose que c’est l’extrémité
qui est retenue à la température constante zéro, tandis que le point
à l’origine est assujéti à une température variable
on résoudra par les mêmes principes cette seconde question et l’on déduit aussi la solution de l’équation (24) en écrivant
au lieu de
ce qui donne en désignant par
la température variable qui convient à cette seconde question
![{\displaystyle {\begin{aligned}(25)\quad \mathrm {U_{T}} ={\frac {\varpi -x}{\varpi }}&\left[e^{-{\text{T}}}\sin .x\left(\varphi 0+\int _{0}^{\text{T}}dt\varphi 't\right)\right.\\&\qquad -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}{\text{T}}}\sin .2x\left(\varphi 0+\int _{0}^{\text{T}}dt\varphi 'te^{2^{2}t}\right)\\&\qquad +\left.{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}{\text{T}}}\sin .3x\left(\varphi 0+\int _{0}^{\text{T}}dt\varphi 'te^{3^{2}t}\right)-{\text{etc}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ac90ed226c02e5160da61d615e5d7351f712cf)
L’expression de
sera ainsi représentée
(26)
|
|
|
Quant à la valeur de
elle prend cette forme