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${\frac {x}{\varpi }}f0-{\frac {2}{\varpi }}f0\left(\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x\right.$

$\left.+{\frac {1}{5}}\sin .5x-{\text{etc}}.\right)\,;$

quantité qui se réduit à zéro parce que la valeur connue de la série est ${\frac {1}{2}}x,$ ainsi les températures initiales sont en effet nulles comme l’exige le calcul.

(10).

Solution générale.

Si, dans la même hypothèse des températures initiales nulles, on suppose que c’est l’extrémité $\varpi$ qui est retenue à la température constante zéro, tandis que le point $o$ à l’origine est assujéti à une température variable $\varphi t,$ on résoudra par les mêmes principes cette seconde question et l’on déduit aussi la solution de l’équation (24) en écrivant $\varpi -x$ au lieu de $x,$ ce qui donne en désignant par $\mathrm {U_{T}}$ la température variable qui convient à cette seconde question

${\begin{aligned}(25)\quad \mathrm {U_{T}} ={\frac {\varpi -x}{\varpi }}&\left[e^{-{\text{T}}}\sin .x\left(\varphi 0+\int _{0}^{\text{T}}dt\varphi 't\right)\right.\\&\qquad -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}{\text{T}}}\sin .2x\left(\varphi 0+\int _{0}^{\text{T}}dt\varphi 'te^{2^{2}t}\right)\\&\qquad +\left.{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}{\text{T}}}\sin .3x\left(\varphi 0+\int _{0}^{\text{T}}dt\varphi 'te^{3^{2}t}\right)-{\text{etc}}\right].\end{aligned}}$

L’expression de $\mathrm {V_{T}}$ sera ainsi représentée

(26)

$\mathrm {V_{T}} ={\frac {\varpi -x}{\varpi }}-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}{\text{T}}}\sin .ix\left(\varphi 0+\int _{0}^{\text{T}}dt\varphi 'te^{i^{2}t}\right).$

Quant à la valeur de $\mathrm {U_{T}} ,$ elle prend cette forme