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On doit donner au nombre entier i toutes ses valeurs possibles, et combiner chacun des termes qui en proviennent avec chacun des termes des deux séries placées à la suite. Lorsque la valeur de $i$ diffère du coefficient de $\alpha$ dans un terme de la série, il faut omettre le résultat parce que sa valeur est nulle ; mais si le nombre $i$ est le même que le coefficient de $\alpha ,$ la valeur de l’intégrale est ${\frac {1}{2}}\varpi .$ On aura donc en ajoutant les exposants de $e$ l’expression

$-{\frac {2}{\varpi }}b_{2}\left(e^{-(t_{2}+t_{3})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{2}+t_{3})}\sin .2x+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(t_{2}+t_{3})}\sin .3x-{\text{etc}}\right)$

$-{\frac {2}{\varpi }}b_{1}\left(e^{-(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .2x\right.$

$\left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .3x-{\text{etc}}\right)$

par conséquent la valeur complète de $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2}+t_{3})}$ est ainsi exprimée

${\begin{aligned}(22)\quad &\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2}+t_{3})}=b_{3}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{3}}{\varpi }}\left(e^{-t_{3}}\sin .(x)+e^{-2^{2}t_{3}}\sin .2x+{\text{etc}}.\right)\\&+b_{2}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{2}}{\varpi }}\left(e^{-(t_{2}+t_{3})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{2}+t_{3})}\sin .2x+{\text{etc}}.\right)\\&+b_{1}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{1}+t_{2}+t_{3})}\sin .2x+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}$

On formerait par le même procédé la valeur complète de $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4})}.$ On aurait ainsi l’expression de l’état où le solide serait parvenu après une nouvelle portion du temps $t_{4},$ si à partir de son état à la fin du temps total $t_{1}+t_{2}+t_{3},$ on augmentait d’une nouvelle quantité $b_{4}$ la température de l’extrémité $\varpi ,$ et si pendant cette nouvelle partie du temps $t_{4}$