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en désignant par $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2}+t_{3})}$ l’expression de la température à la fin du temps total $t_{1}+t_{2}+t_{3}$

(19)$\quad \mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2}+t_{3})}=b_{1}{\frac {x}{\varpi }}+b_{2}{\frac {x}{\varpi }}+b_{3}{\frac {x}{\varpi }}$

$-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t_{3}}\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha )\left(b_{1}{\frac {\alpha }{\varpi }}+b_{2}{\frac {\alpha }{\varpi }}+b_{3}{\frac {\alpha }{\varpi }}-\mathrm {W} _{\alpha }\right).$

On désigne ici par $\mathrm {W} _{\alpha }$ l’expression de $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}$ dans laquelle on écrit $\alpha$ au lieu de $x.$ On voit d’abord qu’une première partie de la valeur cherchée $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2}+t_{3})}$ est

$b_{3}{\frac {x}{\varpi }}-{\frac {x}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t_{3}}\sin .(i\alpha )\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha )b_{3}{\frac {\alpha }{\varpi }}.$

C’est d’après l’équation (14) l’expression de l’état où le prisme se trouverait après le temps $t_{3},$ si en supposant les températures initiales nulles, on retenait les deux extrémités $o$ et $\varpi$ et pendant le temps $t_{3}$ à des températures fixes savoir, zéro au point $o$ et $b_{3}$ au point $\varpi .$

Il reste à connaître les autres parties de la valeur cherchée. Or $\mathrm {W} _{\alpha }$ contient les deux termes $b_{2}{\frac {\alpha }{\varpi }},\,b_{1}{\frac {\alpha }{\varpi }},$ ce qui détruit deux des termes placés à la suite de $\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha )\,;$ on a donc seulement à considérer cette expression

(20)$\quad -{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t_{3}}\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha )$

${\frac {2b_{2}}{\varpi }}\left(e^{-t_{2}}\sin .\alpha -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}t_{2}}\sin .2\alpha +{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}t_{2}}\sin .3\alpha -etc.\right)$

$+{\frac {2b_{3}}{\varpi }}\left(e^{-(t_{1}+t_{2})}\sin .\alpha -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .2\alpha +{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}(t_{1}+t_{2})}\sin .3\alpha -{\text{etc}}.\right).$