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le même solide après le temps $t_{2},$ si au commencement de ce temps $t_{2}$ les températures des points intermédiaires de $o$ à $\varpi$ étant supposées nulles, on assujétissait les deux extrémités pendant le temps $t_{2}$ aux températures respectives $0$ et $b_{2}.$

L’autre partie de la valeur de $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}$ paraît d’abord plus composée, elle a pour expression

(18)${\frac {b_{1}x}{\varpi }}-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t_{2}}\sin .i\alpha \int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .i\alpha {\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-t_{1}}\sin .\alpha -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}t_{1}}\sin .2\alpha \right.$

$\left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}t_{1}}\sin .3\alpha -{\text{etc}}.\right)$

il faudrait done prendre pour $i$ tous les nombres entiers et effectuer les opérations indiquées.

Or il faut remarquer que si $i$ et $j$ sont des nombres entiers différents, l’intégrale définie $\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha )\sin .(j\alpha )$ a toujours une valeur nulle, ce qu’il est facile de vérifier, et ce que nous avons démontré plusieurs fois dans le cours de nos recherches : mais si les nombres $i$ et $j$ sont les mêmes, l’intégrale n’est point nulle, sa valeur est ${\frac {1}{2}}\varpi .$ Nous supposons ces propositions connues ; il en résulte què pour combiner toutes les valeurs de $i$ avec celles qui proviennent de la série ................... $e^{-t_{1}}\sin .\alpha -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}t_{1}}\sin .2\alpha +{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}t_{1}}\sin .3\alpha -{\text{etc}}.,$ il faut omettre toutes les combinaisons pour lesquelles le coefficient $i$ sous le signe $\int _{0}^{\varpi }$ dans $\sin .(i\alpha ),$ est différent du coefficient de $\alpha$ dans un facteur $\sin .(i\alpha )$ qui appartient à un