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on appliquera cette équation (15) au cas où le temps écoulé est désigné par $t_{1}$ et la température fixe du point $\varpi$ par $b_{1},$ et l’on aura

(16)

$\mathrm {V} _{t_{1}}={\frac {b_{1}x}{\varpi }}-{\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-t_{1}}\sin .x-{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}t_{1}}\sin .2x\right.$

$\left.+{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}t_{1}}\sin .3x-{\text{etc}}.\right).$

On considère maintenant l’état exprimé par $\mathrm {V} _{t_{1}}$ comme un état initial donné, et l’on assujétit pendant le temps $t_{2}$ les deux extrémités $o$ et $\varpi$ aux températures respectives $0$ et $b_{1}+b_{2}\,;$ il est facile de connaître l’état qui sera formé à la fin du temps total $t_{1}+t_{2}.$ Il faut dans la formule précédente (13) écrire $b_{1}+b_{2}$ au lieu de $b,$ $t_{2}$ au lieu de $\theta ,$ et remplacer la fonction $\operatorname {F} \alpha$ qui se rapporte à l’état initial par la fonction que l’on trouve en écrivant dans $\mathrm {V} _{t_{1}}$ au lieu de $x$ la quantité auxiliaire $\alpha .$ On aura donc en désignant par $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}$ l’expression de l’état variable à la fin du temps total $t_{1}+t_{2},$

(17)$\quad \mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}={\frac {b_{1}x}{\varpi }}+{\frac {b_{2}x}{\varpi }}$

$-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t_{2}}\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha )\left({\frac {b_{1}\alpha }{\varpi }}+{\frac {b_{2}\alpha }{\varpi }}-\mathrm {W} \right),$

et il faut mettre pour $\mathrm {W}$ sa valeur

${\frac {b_{1}\alpha }{\varpi }}-{\frac {2b_{1}}{\varpi }}\left(e^{-t_{1}}\sin .\alpha -{\frac {1}{2}}e^{-2^{2}t_{1}}\sin .2\alpha +{\frac {1}{3}}e^{-3^{2}t_{1}}\sin .3\alpha -{\text{etc}}.\right),$

il en résulte premièrement qu’une partie de la valeur cherchée de $\mathrm {V} _{(t_{1}+t_{2})}$ est

${\frac {b_{1}x}{\varpi }}-{\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t_{2}}\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }d\alpha \sin .(i\alpha ){\frac {b_{2}\alpha }{\varpi }}.$

Cette partie exprime d’après l’équation (14), l’état où serait