Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/851

tion (8) par l’expression connue

$x=-2{\frac {\sin .(ix)}{i}}\cos .(i\varpi ).$

substituant donc cette valeur de $x$ dans l’équation (7), on trouve

$-{\frac {2}{\varpi }}f't\sum {\frac {\sin .ix}{i}}\cos .i\varpi +\sum {\frac {d\alpha _{i}}{dt}}e^{-i^{2}t}\sin .ix,$

ce qui aura lieu si l’on a

$e^{-i^{2}t}{\frac {d\alpha _{i}}{dt}}={\frac {2}{\varpi }}f't{\frac {1}{i}}\cos .(i\varpi ).$

On prendra donc pour la fonction $\alpha _{i}$ l’intégrale

(9)

${\frac {2}{\varpi }}{\frac {1}{i}}\cos .(i\varpi )\int dte^{i^{2}t}f't,\quad {\text{ou}}\quad {\frac {2}{\varpi }}{\frac {1}{i}}\cos .(i\varpi )\left\{c+\int _{0}^{t}dre^{i^{2}r}f'r\right\},$

en désignant par $c$ une constante arbitraire, et prenant l’intégrale par rapport à la quantité auxiliaire $r$ depuis $r=0$ jusqu’à $r=t,$ on aura donc

(10)

$v={\frac {x}{\varpi }}ft+{\frac {2}{\varpi }}\sum \cos .(i\varpi ){\frac {\sin .ix}{i}}e^{-i^{2}t}\left\{c+\int _{0}^{t}dre^{i^{2}r}f'r\right\}\,;$

faisant $t=0$ dans cette expression de $v,$ elle doit, selon l’hypothèse devenir nulle. On aura donc

${\frac {2}{\varpi }}f0+\sum {\frac {\cos .(i\varpi )\sin .(ix)}{i}}=0,$

et mettant pour $x$ sa valeur

$-2{\frac {\sin .(i\varpi )}{i}}\cos .i\varpi ,$