![{\displaystyle \lambda '^{2}=4{,}8591,\qquad \lambda '^{2}=29{,}67\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402d870daf0dc53142366b8307f66ac9e36514ed)
et les deux sons les plus graves de la plaque dont les bords sont appuyés, seront entre eux comme ces deux valeurs de ![{\displaystyle \lambda '^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30a4260b3e285f8f1cd64ddc063ba5954fd4d44)
En faisant
et
les rayons des lignes nodales se détermineront par l’équation (11), dans laquelle on mettra
et
à la place de
et
Il faudra que
soit moindre que
or, si l’on prend pour
sa plus petite valeur, il n’en existe pas pour
qui remplisse cette condition : si l’on prend pour
sa seconde valeur, il existe une seule valeur de
savoir :
![{\displaystyle y'=1{,}447\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5028023be1351ce7888c7802a3378d6c7b143d72)
d’où il résulte que le son le plus grave n’a pas d’autres lignes nodales que le contour de la plaque, et que celui qui vient ensuite est accompagné d’une ligne nodale dont le rayon est
![{\displaystyle r=(0{,}441)l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf9f14937cce136a107d278fa86192db2ede4f94)
(81) Considérons actuellement le cas de la plaque entièrement libre. Pour que la seconde formule (8) satisfasse à la première équation (2), il faudra prendre :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A=H} '\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }-e^{-ml\cos .\omega }\right)\cos .\omega d\omega ,\\&\mathrm {B=-2H} '\int _{0}^{\pi }\sin .(ml\cos .\omega )\cos .\omega d\omega .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9c827449acf49a25cd380d613151e45d2c1f7c)
étant un nouveau coefficient inconnu. On aura donc
![{\displaystyle z=\sum \mathrm {H'R'} \cos .m^{2}at,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb650e901d946496e0ea9a0a38e569999e699429)
(13)