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$\lambda '^{2}=4{,}8591,\qquad \lambda '^{2}=29{,}67\,;$

et les deux sons les plus graves de la plaque dont les bords sont appuyés, seront entre eux comme ces deux valeurs de $\lambda '^{2}.$

En faisant $m^{2}l^{2}=4x'$ et $m^{2}r^{2}=4y'$ les rayons des lignes nodales se détermineront par l’équation (11), dans laquelle on mettra $x'$ et $y'$ à la place de $x$ et $y.$ Il faudra que $y'$ soit moindre que $x'\,;$ or, si l’on prend pour $x'$ sa plus petite valeur, il n’en existe pas pour $y'$ qui remplisse cette condition : si l’on prend pour $x'$ sa seconde valeur, il existe une seule valeur de $y'<x',$ savoir :

$y'=1{,}447\,;$

d’où il résulte que le son le plus grave n’a pas d’autres lignes nodales que le contour de la plaque, et que celui qui vient ensuite est accompagné d’une ligne nodale dont le rayon est

$r=(0{,}441)l.$

(81) Considérons actuellement le cas de la plaque entièrement libre. Pour que la seconde formule (8) satisfasse à la première équation (2), il faudra prendre :

${\begin{aligned}&\mathrm {A=H} '\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }-e^{-ml\cos .\omega }\right)\cos .\omega d\omega ,\\&\mathrm {B=-2H} '\int _{0}^{\pi }\sin .(ml\cos .\omega )\cos .\omega d\omega .\end{aligned}}$

$\mathrm {H} '$ étant un nouveau coefficient inconnu. On aura donc

$z=\sum \mathrm {H'R'} \cos .m^{2}at,\qquad$(13)