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où l’on fera $r=l,$ ce qui donnera après quelques réductions :

$2ml\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }+e^{-ml\cos .\omega }\right).\int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega )\cos .\omega d\omega$

$-{\frac {3}{4}}\left[\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }+e^{-ml\cos .\omega }\right)d\omega .\int _{0}^{\pi }\sin .(ml\cos .\omega )\cos .\omega d\omega \right.\qquad \quad$(12)

$\left.+\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }-e^{-ml\cos .\omega }\right)\cos .\omega d\omega .\int _{0}^{\pi }\cos .(ml\cos .\omega )d\omega \right]=0.$

Cette équation servira à déterminer les valeurs de $m,$ et par suite les différents sons que la plaque peut faire entendre. Si l’on désigne par $\lambda '$ une des valeurs de $ml$ qui s’en déduisent, et par $n'$ le nombre de vibrations dans l’unité de temps qui sert de mesure au son correspondant, on aura, comme dans le n^o précédent :

$n'={\frac {\lambda '^{2}\varepsilon }{3\pi l^{2}}}{\sqrt {\frac {2k}{\rho }}}.$

Si l’on développe le premier membre de l’équation (12), suivant les puissances de $ml$ ou de $\lambda ',$ et qu’on fasse $\lambda '^{2}=4x',$ on trouve :

${\begin{aligned}&1-{\frac {x'^{2}}{2}}+{\frac {x'^{4}}{96}}-{\frac {x'^{6}}{25920}}+{\frac {x'^{8}}{23224320}}-{\text{etc}}.\\&-{\frac {3}{8}}\left(1-{\frac {x'^{2}}{6}}+{\frac {x'^{4}}{480}}-{\frac {x'^{6}}{181440}}+{\frac {x'^{8}}{209018880}}-{\text{etc}}\right)=0.\end{aligned}}$

Les valeurs approchées des deux plus petites racines de cette équation résolue par rapport à $x'^{2},$ sont

$x'^{2}=1{,}4761,\qquad x'^{2}=55.$

On a en même temps