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${\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }&\left(e^{ml\cos .\omega }+e^{-ml\cos .\omega }\right)d\omega .\int _{0}^{\pi }\sin .(ml\cos .\omega )\cos .\omega d\omega \\&+\int _{0}^{\pi }\left(e^{ml\cos .\omega }-e^{-ml\cos .\omega }\right)\cos .\omega d\omega .\int _{0}^{l}\cos .(ml\cos .\omega )d\omega \\\end{aligned}}$(10)

équation qui servira à déterminer les valeurs de $m.$ On prouvera qu’elle n’a aucune racine en partie réelle et en partie imaginaire, et l’on déterminera, d’après la forme initiale de la plaque, la valeur du coefficient $\mathrm {H}$ en fonction de $m,$ par une analyse dont nous avons déja donné, dans ce Mémoire, un nombre suffisant d’exemples. Pour abréger, nous supprimerons cette analyse dans le cas actuel et dans les cas que nous traiterons ensuite, et nous ne nous occuperons que de la détermination des différents sons de la plaque circulaire, ce qui est l’objet essentiel de la question.

Les racines de l’équation (10) étant toutes incommensurables,il faudra que la formule (9) se réduise à un seul terme pour que la plaque exécute des vibrations isochrones. En appelant $\lambda$ l’une des valeurs numériques de $ml$ tirées de l’équation (10), et désignant par $\tau$ la durée correspondante de chaque vibration entière, on aura

$\tau ={\frac {2\pi l^{2}}{\lambda ^{2}a}}.$

Le nombre de vibrations dans l’unité de temps sera ${\frac {1}{\tau }}\,;$ en désignant par $n,$ et remettant pour $a$ sa valeur (n^o 70), il en résultera

$n={\frac {\lambda ^{2}\varepsilon }{3\pi l^{2}}}{\sqrt {\frac {2k}{\rho }}}.$