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$u=\mathrm {A} \int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )d\omega +\mathrm {A} '\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega ,$

$u'={\frac {1}{2}}\mathrm {B} \int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)d\omega$

$+{\frac {1}{2}}\mathrm {B} '\int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \,;$

$\mathrm {A,A',B,B'} ,$ désignant des constantes arbitraires. Cela étant, conclura de la formule (7):

$\varphi =\sum m^{2}\left[{\frac {1}{2}}\mathrm {B} \int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)d\omega -\mathrm {A} \int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )d\omega \right.$

$\ \ +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} '\int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega$

$\left.-\mathrm {A} '\int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )\log .\left(r\sin .^{2}\omega \right)d\omega \right]\cos .m^{2}at.$

S’il n’existe aucune partie fixe au centre de la plaque, ainsi que nous le supposerons dans ce qui va suivre, la valeur de $z$ devra comprendre $r=0\,;$ et comme elle ne doit jamais devenir infinie, il faudra que les coefficients $\mathrm {A} '$ et $\mathrm {B} '$ des termes qui renferment $\log .r,$ soient égaux à zéro, ce qui réduira les expressions de $z$ et de $\varphi$ à

$\left.{\begin{aligned}z=&\sum \left[\mathrm {A} \int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )d\omega \right.\\&\quad \qquad +\left.{\frac {1}{2}}\mathrm {B} \int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)d\omega \right]\cos .m^{2}at,\\\varphi =&\sum m^{2}\left[{\frac {1}{2}}\mathrm {B} \int _{0}^{\pi }\left(e^{mr\cos .\omega }+e^{-mr\cos .\omega }\right)d\omega \right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.-\mathrm {A} \int _{0}^{\pi }\cos .(mr\cos .\omega )d\omega \right]\cos .m^{2}at.\end{aligned}}\right\}$(8)