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Plaçons l’origine des coordonnées à l’un de ses angles, prenons les directions des deux côtés adjacents pour axes des $x$ et des $y,$ et représentons leurs longueurs par $l$ et $l',$ de sorte que le contour de la membrane réponde à $x=0$ et $x=l,$ et à $y=0$ et $y=l'.$ La condition $z=0$ pour $x=0$ et $x=l,$ devant se vérifier pour toutes les valeurs de $y$ et $t,$ il faudra que chaque terme de la formule $(b)$ y satisfasse séparément, ce qui exige qu’on ait

$h=0,\qquad m={\frac {n\pi }{l}},$

$n$ étant un nombre entier quelconque. La même condition relative à $y=0$ et $y=l',$ donnera

$h'=0,\qquad m'={\frac {n'\pi }{l'}}\,;$

$n'$ étant aussi un nombre entier quelconque. En faisant donc, pour abréger,

${\frac {\pi c}{ll'}}{\sqrt {n^{2}l'^{2}+n'^{2}l^{2}}}=\gamma ,\qquad \sin .{\frac {n\pi x}{l}}\sin .{\frac {n'\pi y}{l'}}=\mathrm {U} ,$

la formule $(b)$ deviendra

$z=\sum \mathrm {U} (\mathrm {H} \sin .\gamma t+\mathrm {H} '\cos .\gamma t).\qquad (c)$

On pourra convenir de réunir les termes qui ne different que par le signe de $n$ ou de $n',$ et de n’étendre ensuite la somme $\sum$ qu’à des nombres entiers et positifs, ou zéro, depuis $n=0$ et $n'=0$ jusqu’à $n=\infty$ et $n'=\infty .$

Pour déterminer, d’après l’état initial de la membrane, les coefficients $\mathrm {H}$ et $\mathrm {H} '$ en fonctions de $n$ et $n',$ je désigne par $\mathrm {V}$ ce que devient $\mathrm {U}$ quand on y remplace $n$ et $n'$ par deux