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fixé son contour, et qu’on l’a fait vibrer transversalement d’une manière quelconque. les deux quantités $u$ et $v$ seront indépendantes du temps, et d’après leurs valeurs du numéro cité, celles de $\mathrm {P_{2},P_{3},Q_{2}} ,$ seront

$\mathrm {P_{2}=0,\qquad P_{3}=Q_{2}=-{\frac {C}{\rho }}} \,;$

par conséquent l’équation du mouvement déduite de celle de l’équilibre sera

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c^{2}\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right),\qquad (a)$

en faisant, pour abréger,

${\frac {\mathrm {C} }{\rho \varepsilon }}=c^{2}.$

Il y faudra joindre l’équation particulière $z=0,$ qui aura lieu pour tous les points du contour de la membrane vibrante.

(60) L’intégrale complète de l’équation $(a)$ peut être représentée par

$\left.{\begin{aligned}z&=\sum \mathrm {H} \sin .(mx+h)\sin .(m'y+h)\sin .ct{\sqrt {m^{2}+m'^{2}}}\\&+\sum \mathrm {H} '\sin .(mx+h)\sin .(m'y+h')\cos .ct{\sqrt {m^{2}+m'^{2}}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad (b)$

$\mathrm {H,H'} ,m,m',h,h',$ étant des quantités indépendantes de $x,y,z\,;$ les sommes $\sum$ s’étendant à toutes leurs valeurs possibles, réelles ou imaginaires ; et tous les termes de chacune de ces sommes satisfaisant séparément à cette équation. Cette forme de son intégrale est celle qui convient le mieux à la détermination complète des vibrations, lorsque la membrane vibrante est un rectangle, ainsi que nous le supposerons en premier lieu.