fixé son contour, et qu’on l’a fait vibrer transversalement d’une manière quelconque. les deux quantités
et
seront indépendantes du temps, et d’après leurs valeurs du numéro cité, celles de
seront
![{\displaystyle \mathrm {P_{2}=0,\qquad P_{3}=Q_{2}=-{\frac {C}{\rho }}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6aa661c6a489dff1b0a443eca43b1df846b5fc0)
par conséquent l’équation du mouvement déduite de celle de l’équilibre sera
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c^{2}\left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\right),\qquad (a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7845268414f92a670f2fd9c83fed14c0aef0253)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {C} }{\rho \varepsilon }}=c^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d441db26fc4aabd1e57e560f7f137b3a0003b135)
Il y faudra joindre l’équation particulière
qui aura lieu pour tous les points du contour de la membrane vibrante.
(60) L’intégrale complète de l’équation
peut être représentée par
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}z&=\sum \mathrm {H} \sin .(mx+h)\sin .(m'y+h)\sin .ct{\sqrt {m^{2}+m'^{2}}}\\&+\sum \mathrm {H} '\sin .(mx+h)\sin .(m'y+h')\cos .ct{\sqrt {m^{2}+m'^{2}}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47b2562c03633a76c65f5af94235b9305d8a59f)
étant des quantités indépendantes de
les sommes
s’étendant à toutes leurs valeurs possibles, réelles ou imaginaires ; et tous les termes de chacune de ces sommes satisfaisant séparément à cette équation. Cette forme de son intégrale est celle qui convient le mieux à la détermination complète des vibrations, lorsque la membrane vibrante est un rectangle, ainsi que nous le supposerons en premier lieu.