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sances de $ml$ ou de $\lambda ',$ et qu’on y fasse $\lambda '^{2}=4x',$ on aura

$1-x'+{\frac {x'^{2}}{(1.2)^{2}}}-{\frac {x'^{3}}{(1.2.3)^{2}}}+{\frac {x'^{4}}{(1.2.3.4)^{2}}}-{\text{etc}}.$

$-{\frac {3}{4}}\left(1-{\frac {x'}{2}}+{\frac {x'^{2}}{3(1.2)^{2}}}-{\frac {x'^{3}}{4(1.2.3)^{2}}}+{\frac {x'^{4}}{5(1.2.3.4)^{2}}}-{\text{etc}}.\right)=0.$

On trouve pour les valeurs approchées de ses deux plus petites racines :

$x'=0{,}46,\qquad x'=7{,}04.$

Il en résulte

$\lambda '=1{,}31,\qquad \lambda '=5{,}31,$

pour les valeurs correspondantes de $\lambda '$ dont le rapport est celui des deux sons les plus graves dans le cas du contour mobile. En comparant la première valeur de $\lambda '$ à la première valeur de $\lambda ,$ on a aussi le rapport du son le plus grave dans ce dernier cas à celui qui a lieu dans le cas du contour fixe.

Pour déterminer les rayons des lignes nodales qui répondent à chaque son ou à chaque valeur de $m,$ on égalera à zéro le coefficient du terme correspondant de la formule (11) ; ce qui donne

$\int _{0}^{l}\cos .(\mu \cos .\omega )\sin .^{2}\omega \,d\omega =0,$

en faisant $mr=\mu .$ Il en résultera

$r={\frac {\mu l}{\lambda }},\quad {\text{ou}}\quad r={\frac {\mu l}{\lambda '}},$

selon qu’il s’agira du contour fixe ou du contour mobile, et, dans les deux cas, il faudra que la valeur de $r$ ne surpasse pas le rayon $l$ de la membrane ou de la plaque. En comparant