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où l’on a fait, pour abréger,

$a^{2}={\frac {8k}{3\rho }}.$

Si l’on applique les formules (6) au contour de la membrane, ou à une circonférence concentrique quelconque, il y faudra faire

$\cos .\theta ={\frac {x}{r}},\qquad \sin .\theta {\frac {y}{r}},$

et l’on trouvera qu’elles deviennent

$\mathrm {P} =-{\frac {8k}{3}}\left({\frac {d\varphi }{dr}}+{\frac {\varphi }{4r}}\right){\frac {x}{r}},\qquad \mathrm {Q} =-{\frac {8k}{3}}\left({\frac {d\varphi }{dr}}+{\frac {\varphi }{4r}}\right){\frac {y}{r}}.$

Au lieu d’une membrane, si l’on avait une plaque solide, toutes les formules relatives aux vibrations longitudinales seraient encore les mêmes, ainsi qu’on le verra dans le § VI de ce Mémoire ; seulement il pourrait arriver que le contour fût entièrement libre ; et alors il faudrait que les forces $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ fussent nulles en tous ses points. Afin de ne pas revenir sur cette question, nous allons considérer le cas du contour fixe qui a nécessairement lieu pour une membrane tendue, et le cas d’un contour libre dans toute son étendue, en sorte que nous aurons l’une ou l’autre de ces deux équations :

$\varphi =0,\qquad {\frac {d\varphi }{dr}}+{\frac {\varphi }{4r}}=0,\qquad$(10)

pour $r=l,$ en désignant par $l$ le rayon du contour.

On satisfait à l’équation (9) en prenant

$\varphi =r\int _{0}^{\pi }f(at+r\cos .\omega )\sin .^{2}\omega d\omega ,$