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dérer le cas où la membrane est plane, et celui où elle s’écarte très-peu d’un même plan dans toute son étendue. L’équation différentielle de la surface flexible que Lagrange a donnée, et qui se trouve aussi dans le Mémoire que je viens de citer, n’est pas soumise à cette restriction ; elle est seulement fondée sur la supposition particulière qu’en chaque point de cette surface, la tension est la même dans toutes les directions : on la déduirait sans difficulté des équations (2) en y introduisant cette hypothèse.

Dans ce qui va suivre, je supposerai aussi la membrane homogène et d’une épaisseur constante ; ce qui rendra constantes, les trois quantités $k,\rho ,\varepsilon ,$ en négligeant toutefois les petites variations de $\rho$ et $\varepsilon ,$ dues aux dilatations de la membrane qui sont produites par les forces données qui la sollicitent, ou qui ont lieu en ses différents points dans l’état de mouvement.

(53) Dans le cas où la membrane sera plane, si l’on suppose qu’elle coïncide avec le plan des $x,\,y,$ on aura

${\begin{array}{lllll}z=0,&p=0,&q=0,&h=1,\\\alpha =0,&\beta =1,&\gamma =0,&\alpha '=1,&\beta '=0,&\gamma '=0.\end{array}}$

Les trois quantités $\mathrm {P_{1},Q_{1},R_{1}} ,$ seront nulles en vertu des équations (1): il faudra que la force normale au plan de la membrane soit aussi nulle ; ce qui fera disparaître la troisième équation (2). En tirant de $\mathrm {R} _{1}=0,$ la valeur de ${\frac {dw}{dz}},$ et la mettant dans $\mathrm {P} _{3}$ et $\mathrm {Q} _{2},$ on aura

$\mathrm {P} _{3}=-{\frac {2k}{3}}\left(4{\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}\right),\qquad \mathrm {Q} _{2}=-{\frac {2k}{3}}\left(4{\frac {dv}{dy}}+{\frac {du}{dx}}\right).$

Au moyen de ces différentes valeurs et de celle de $\mathrm {P} _{2},$ les