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pour la portion de l’intégrale comprise dans la première équation (5) et relative aux deux sections qui répondent à ce même plan. En réunissant ces deux formules, on aura l’expression complète de l’intégrale contenue dans le second membre de cette équation. Par des changements de lettres, on en déduira les expressions des intégrales que contiennent les seconds membres des deux autres équations (5). Quant à celles qui forment les premiers membres des trois équations, elles auront pour valeurs :

$\mathrm {X} \rho \varepsilon \,h\,dxdy,\qquad \mathrm {Y} \rho \varepsilon \,h\,dxdy,\qquad \mathrm {Z} \rho \varepsilon \,h\,dxdy,$

les produits $\mathrm {X} \rho \varepsilon ,\mathrm {Y} \rho \varepsilon ,\mathrm {Z} \rho \varepsilon ,$ étant les composantes parallèles aux $x,y,z,$ de la force donnée et rapportée à l’unité de surface, qui répond au point $\mathrm {M} .$ En observant donc que les intégrales $\int \mathrm {X} _{1}ds,\int \mathrm {Y} _{1}ds,\int \mathrm {Z} _{1}ds,$ sont nulles par hypothèse, et supprimant le facteur $dxdy$ commun à tous les termes des équations (5), elles deviendront finalement :

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {X} \rho \varepsilon \,h&+{\frac {d.(\gamma \mathrm {P} _{1}+\beta \mathrm {P} _{2}+\alpha \mathrm {P} _{3})\varepsilon {\sqrt {1+p^{2}}}}{dy}}\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {d.(\gamma '\mathrm {P} _{1}+\beta '\mathrm {P} _{2}+\alpha '\mathrm {P} _{3})\varepsilon {\sqrt {1+q^{2}}}}{dx}}=0,\\\mathrm {Y} \rho \varepsilon \,h&+{\frac {d.(\gamma \mathrm {Q} _{1}+\beta \mathrm {Q} _{2}+\alpha \mathrm {P} _{2})\varepsilon {\sqrt {1+p^{2}}}}{dy}}\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {d.(\gamma '\mathrm {Q} _{1}+\beta '\mathrm {Q} _{2}+\alpha '\mathrm {P} _{2})\varepsilon {\sqrt {1+q^{2}}}}{dx}}=0,\\\mathrm {Z} \rho \varepsilon \,h&+{\frac {d.(\gamma \mathrm {R} _{1}+\beta \mathrm {Q} _{1}+\alpha \mathrm {P} _{1})\varepsilon {\sqrt {1+p^{2}}}}{dy}}\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {d.(\gamma '\mathrm {R} _{1}+\beta '\mathrm {Q} _{1}+\alpha '\mathrm {P} _{1})\varepsilon {\sqrt {1+q^{2}}}}{dx}}=0.\end{aligned}}\right\}$(2)

(52) La détermination des six cosinus $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\gamma ',$ est une simple question de géométrie ; je me bornerai à en donner les valeurs dont on trouve le calcul dans mon Mémoire sur les surfaces élastiques. Ces valeurs sont :