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Les différents sons d’une verge dépendront des valeurs de $m\,:$ si l’on désigne par $\lambda$ et $\lambda '$ des valeurs numériques de $ml,$ tirées respectivement des équations $(e)$ et $(i),$ et par $\tau$ et $\tau '$ les durées correspondantes de chaque vibration entière, on aura

$\tau ={\frac {2\pi l^{2}}{\lambda ^{2}b}}={\frac {4\pi l^{2}}{\lambda ^{2}\varepsilon }}{\sqrt {\frac {2\rho }{5k}}},\qquad \tau '={\frac {2\pi l^{2}}{\lambda '^{2}b}}={\frac {4\pi l^{2}}{\lambda '^{2}\varepsilon }}{\sqrt {\frac {2\rho }{5k}}}\,;$

les nombres de vibrations dans chaque unité de temps seront ${\frac {1}{\tau }}$ et ${\frac {1}{\tau '}}\,;$ par conséquent, pour deux verges de la même matière dont les extrémités sont aussi dans le même état, les sons d’un même rang, mesurés par ces nombres, seront en raison directe des diamètres et inverse des carrés des longueurs.

Pour obtenir les valeurs de $\lambda$ et $\lambda ',$ je désigne par $i$ un nombre entier ou zéro, et je fais

$ml=\lambda ={\frac {1}{2}}(2i+1)\pi \mp \delta ,$

dans l’équation $(e),$ et

$ml=\lambda '={\frac {1}{2}}(2i+1)\pi \pm \delta ',$

dans l’équation $(i).$ Je prends les signes supérieurs ou inférieurs devant les nouvelles inconnues $\delta$ et $\delta '$ selon que $i$ est un nombre pair ou un nombre impair ; et de cette manière, il vient

${\begin{aligned}\sin .\delta \;&={\frac {2}{e^{{\frac {1}{2}}(2i+1)\pi }e^{\mp \delta }+e^{-{\frac {1}{2}}(2i+1)\pi }e^{\pm \delta }}},\\\sin .\delta '&={\frac {2}{e^{{\frac {1}{2}}(2i+1)\pi }e^{\pm \delta '}+e^{-{\frac {1}{2}}(2i+1)\pi }e^{\mp \delta '}}}.\end{aligned}}$