(49) Au moyen de l’équation on prouvera, par un raisonnement semblable à celui du no 21, que les équations et n’admettent pas de racines en partie réelles et en partie imaginaires. La formule ne contiendra donc aucune exponentielle relative au temps mais dans le cas de la verge libre, cette formule contiendra un terme proportionnel à la variable et un terme indépendant de t qui proviendront de la racine de l’équation Ces termes se réduiront à des fonctions linéaires de l’autre variable Ils répondront en conséquence à un changement de direction de l’axe de la verge, sans aucune courbure, et à un mouvement de cette droite parallèlement à elle-même. Nous ferons abstraction de cette sorte de mouvement et nous n’aurons point égard à la racine de l’équation Tous les termes de la formule seront alors des quantités périodiques ; mais à cause que les différentes valeurs de sont incommensurables, il n’arrivera pas, en général, que tous les points de l’axe de la verge reviennent en même temps à leur état primitif, ou, autrement dit, une verge élastique n’exécutera pas dans tous les cas, comme une corde tendue, des vibrations isochrones. Pour que les vibrations transversales le soient, et pour que la verge fasse entendre un son unique et appréciable, il faudra que d’après son état initial, tous les termes de la formule disparaissent, excepté un seul, et qu’elle se réduise conséquemment à la forme :
où l’on a remis, pour abréger, les constantes et à la place de leurs valeurs trouvées plus haut.
