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supposerons qu’on ait

$y=fx,\qquad {\frac {dy}{dt}}=\operatorname {F} x,\qquad$(d)

quant $t=0,$ en sorte que $fx$ et $\operatorname {F} x$ soient des fonctions données arbitrairement pour toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=l\,:$ toutefois ces fonctions devront satisfaire aux équations qui répondent aux extrémités de la verge, sans quoi les conditions relatives à cette partie de la surface ne seraient pas remplies dans les premiers instants du mouvement, mais seulement après un très-court intervalle de temps, ainsi qu’on en a vu un exemple dans le n^o 20.

(47) Représentons par $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ deux fonctions de $x$ et par $m$ une quantité indépendante de $x$ et $t.$ Soit

$y=\mathrm {P} \sin .m^{2}bt+\mathrm {Q} \cos .m^{2}bt\,;$

on satisfera à l’équation (a) en posant

${\frac {d^{4}\mathrm {P} }{dx^{4}}}=m^{4}\mathrm {P} ,\qquad {\frac {d^{4}\mathrm {Q} }{dx^{4}}}=m^{4}\mathrm {Q} .$

En intégrant celles-ci, on aura

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {P} &=\mathrm {A} \sin .mx&&+\mathrm {A} '\cos .mx&&+{\frac {1}{2}}\mathrm {B} \left(e^{mx}-e^{-mx}\right)&&+{\frac {1}{2}}\mathrm {B} '\left(e^{mx}+e^{-mx}\right),\\\mathrm {Q} &=\mathrm {C} \sin .mx&&+\mathrm {C} '\cos .mx&&+{\frac {1}{2}}\mathrm {D} \left(e^{mx}-e^{-mx}\right)&&+{\frac {1}{2}}\mathrm {D} '\left(e^{mx}+e^{-mx}\right)\,;\end{alignedat}}$

$\mathrm {A,A'} ,$ etc, étant les huit constantes arbitraires, et $e$ la base des logarithmes népériens. À cause de la forme linéaire de l’équation (a), on y satisfera encore au moyen de cette expression :

$y=\sum \mathrm {P} \sin .m^{2}bt+\sum \mathrm {Q} \cos .m^{2}bt,$