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En négligeant dans les valeurs de $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V} ,$ les termes de trois dimensions et au-delà par rapport à $\eta ,\zeta ,\varepsilon ,$ et éliminant leurs premiers termes $\mathrm {P_{1},P_{2}} ,$ au moyen des deux premières équations (9), nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {U} &={\frac {1}{2}}\left(\eta ^{2}-\varepsilon ^{2}\right){\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}+\eta \zeta {\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}+{\frac {1}{2}}\zeta ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}},\\\mathrm {V} &={\frac {1}{2}}\left(\zeta ^{2}-\varepsilon ^{2}\right){\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}+\eta \zeta {\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}.\end{aligned}}$

D’après les équations (11) et les deux premières formules (1), on a

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}=&-k\left({\frac {d^{3}u'}{d\zeta d\eta ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\right),\qquad &{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}=&-k\left({\frac {d^{3}u'}{d\eta d\zeta ^{2}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\right),\\{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}=&-k\left({\frac {d^{3}u'}{d\eta d\zeta ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\right),&{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}=&-k\left({\frac {d^{3}u'}{d\eta ^{2}d\zeta }}+{\frac {1}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\right)\,;\end{alignedat}}$

d’où l’on conclut

${\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}={\frac {k}{2}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}},\qquad {\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}={\frac {k}{2}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,;$

la première équation (2) donne aussi, en ayant égard aux valeurs de ${\frac {d\mathrm {P} _{3}}{d\eta }}$ et ${\frac {d\mathrm {P} _{3}}{d\zeta }}$ trouvées dans le n^o 41 :

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}\rho ={\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}+{\frac {5k}{2}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\\{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\rho ={\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}+{\frac {5k}{2}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\,;\end{aligned}}$

et si l’on joint les deux dernières formules (9) à ces quatre dernières équations, on pourra en tirer les valeurs des différences partielles secondes de $\mathrm {P_{1}}$ et $\mathrm {P} _{2}$ par rapport à $\eta$ et $\zeta ,$ lesquelles sont au nombre de six. On trouve de cette manière :