En négligeant dans les valeurs de
et
les termes de trois dimensions et au-delà par rapport à
et éliminant leurs premiers termes
au moyen des deux premières équations (9), nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {U} &={\frac {1}{2}}\left(\eta ^{2}-\varepsilon ^{2}\right){\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}+\eta \zeta {\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}+{\frac {1}{2}}\zeta ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}},\\\mathrm {V} &={\frac {1}{2}}\left(\zeta ^{2}-\varepsilon ^{2}\right){\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}+\eta \zeta {\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0245139a8b31e4a5036e99a3b4630a758b2fd59d)
D’après les équations (11) et les deux premières formules (1), on a
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}=&-k\left({\frac {d^{3}u'}{d\zeta d\eta ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\right),\qquad &{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}=&-k\left({\frac {d^{3}u'}{d\eta d\zeta ^{2}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\right),\\{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}=&-k\left({\frac {d^{3}u'}{d\eta d\zeta ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\right),&{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}=&-k\left({\frac {d^{3}u'}{d\eta ^{2}d\zeta }}+{\frac {1}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\right)\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1181c29f075f20eb925816ecceb16b9afff4edf1)
d’où l’on conclut
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}={\frac {k}{2}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}},\qquad {\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}={\frac {k}{2}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4034054f6e18411602d47a732ea7d85cd300faa)
la première équation (2) donne aussi, en ayant égard aux valeurs de
et
trouvées dans le no 41 :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}\rho ={\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}+{\frac {5k}{2}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\\{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\rho ={\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}+{\frac {5k}{2}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9f99fc94058b507c82ada860e676b38e734c96)
et si l’on joint les deux dernières formules (9) à ces quatre dernières équations, on pourra en tirer les valeurs des différences partielles secondes de
et
par rapport à
et
lesquelles sont au nombre de six. On trouve de cette manière :