Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/721

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {r}{8}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\cos .\theta +{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\sin .\theta \right),\\\varphi &={\frac {1}{2}}\left({\frac {dw'}{d\eta }}-{\frac {dv'}{d\zeta }}\right)+{\frac {r}{8}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\sin .\theta -{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}\cos .\theta \right).\end{aligned}}$

Nous voyons par là que la flexion d’une verge cylindrique d’un très-petit diamètre n’est pas accompagnée, comme son extension, d’une dilatation normale, ou du moins que la dilatation $\varphi$ qui a lieu en chaque point $\mathrm {M} '$ est très-petite et proportionnelle à la distance $r$ de $\mathrm {M} '$ à l’axe. Quant à l’angle $\psi$ qui exprime la torsion en ce point $\mathrm {M} ',$ sa valeur se compose d’une partie principale, indépendante de $\theta$ et $r,$ et commune à tous les points d’une même section normale à l’axe ; or, cette torsion qui ne varie qu’avec $x,$ étant celle que nous avons considérée dans les n^os 37 et 38, nous pouvons maintenant en faire abstraction, et supposer qu’on ait

${\frac {dw'}{d\eta }}-{\frac {dv'}{d\zeta }}=0.$

La torsion qui accompagne nécessairement la flexion de la verge, se trouvera réduite à une valeur très-petite, proportionnelle au rayon $r,$ et variable dans une même section normale avec la direction de ce rayon.

En joignant cette dernière équation aux quatorze formules (11), les valeurs des différences partielles premières et secondes de $u',v',w',$ qui sont au nombre de quinze, se trouveront toutes déterminées d’après celles de $y$ et $z\,;$ les développements de $u',v',w',$ suivant les puissances de $\eta$ et $\zeta ,$ seront donc connus, lors même que l’on conserverait les carrés et le produit de $\eta$ et $\zeta \,;$ mais nous bornerons l’approximation aux premières puissances de ces variables inclusive-