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dans le n^o 33, par $r\varphi$ l’accroissement de la droite $\mathrm {MM} ',$ et par $\psi$ l’accroissement de l’angle qu’elle fait avec une parallèle à l’axe des $\eta$ menée par le point $\mathrm {M} ,$ on aura les valeurs de $r+r\varphi$ et $\theta +\psi ,$ en remplaçant, dans ces formules, les coordonnées primitives $\eta$ et $\zeta$ de $\mathrm {M} '$ par ses coordonnées subséquentes $\eta +v'-y$ et $\zeta +w'-z,$ rapportées au point $\mathrm {M}$ comme origine ; donc, en négligeant les carrés et les produits de $r'-y$ et $w'-z,$ nous aurons

${\begin{alignedat}{2}r\varphi &=(v'-y)\cos .\theta &&+(w'-z)\sin .\theta ,\\r\psi &=(w'-z)\cos .\theta &&-(v'-y)\sin .\theta .\end{alignedat}}$

Si l’on développe suivant les puissances de $\eta$ et $\zeta ,$ et qu’on mette pour $\eta$ et $\zeta ,$ leurs valeurs $r\cos .\theta$ et $r\sin .\theta ,$ il en résultera

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {dv'}{d\eta }}\cos .^{2}\theta +\left({\frac {dw'}{d\zeta }}+{\frac {dw'}{d\eta }}\right)\cos .\theta \sin .\theta +{\frac {dw'}{d\zeta }}\sin .^{2}\theta \\&+{\frac {r}{2}}\left[{\frac {d^{2}v'}{d\eta ^{2}}}\cos .^{3}\theta +\left(2{\frac {d^{2}v'}{d\eta d\zeta }}+{\frac {d^{2}w'}{d\eta ^{2}}}\right)\cos .^{2}\theta \sin .\theta \right.\\&+\left.\left({\frac {d^{2}v'}{d\zeta ^{2}}}+2{\frac {d^{2}w'}{d\eta d\zeta }}\right)\sin .^{2}\theta \cos .\theta +{\frac {d^{2}w'}{d\zeta ^{2}}}\sin .^{3}\theta \right]+{\text{etc}}.,\\\psi &={\frac {dw'}{d\eta }}\cos .^{2}\theta +\left({\frac {dw'}{d\zeta }}-{\frac {dv'}{d\eta }}\right)\cos .\theta \sin .\theta -{\frac {dv'}{d\zeta }}\sin .^{2}\theta \\&+{\frac {r}{2}}\left[{\frac {d^{2}w'}{d\eta ^{2}}}\cos .^{3}\theta +\left(2{\frac {d^{2}w'}{d\eta d\zeta }}-{\frac {d^{2}v'}{d\eta ^{2}}}\right)\cos .^{2}\theta \sin .\theta \right.\\&+\left.\left({\frac {d^{2}w'}{d\zeta ^{2}}}-2{\frac {d^{2}v'}{d\eta d\zeta }}\right)\sin .^{2}\theta \cos .\theta -{\frac {d^{2}v'}{d\zeta ^{2}}}\sin .^{3}\theta \right]+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

On fera dans ces séries $\eta =0,$ $\zeta =0,$ après les différentiations ; en négligeant les carrés de $r$ et $\varepsilon ,$ ce qui permettra de faire usage des équations (11), on aura donc