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de son axe, qui ne soit accompagnée d’aucun déplacement sensible des points de cette ligne suivant sa longueur, de sorte que les variables $y$ et $z$ ne soient plus nulles, comme précédemment, mais que la variable $u'$ s’évanouisse avec $r$ pour toutes les valeurs de $x.$ Nous continuerons de supposer que les déplacements d’un point quelconque $\mathrm {M} '$ de la verge, varient très-peu dans toute l’étendue de chaque section perpendiculaire à l’axe, et conséquemment que les valeurs de $u',v',w',$ peuvent se développer en séries très-convergentes suivant les puissances des coordonnées et de ce point. Par suite, il en sera de même à l’égard des forces $\mathrm {P_{1},P_{2}} ,$ etc. ; et de plus si les forces données $\mathrm {X',Y',Z'} ,$ sont représentées par des séries ordonnées suivant les puissances entières de $\eta$ et $\zeta ,$ il faudra que les développements de $\mathrm {P_{1},P_{2}} ,$ etc., ne contiennent aussi que de semblables puissances de $\eta$ et $\zeta ,$ afin que les équations (2) puissent être rendues identiques par rapport à ces deux variables et subsister pour toutes leurs valeurs. Cela étant convenu, nous allons d’abord faire subir aux deux dernières équations (2) une transformation qui consisterait à leur substituer celles qui se déduisent des équations (5) du n^o 11, mais qu’on peut aussi effectuer directement de la manière suivante.

En remplaçant les deux variables $\eta$ et $\zeta$ par $r$ et $\theta ,$ nous aurons

${\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}={\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{dr}}\sin .\theta +{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\theta }}{\frac {\cos .\theta }{r}},\qquad {\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\eta }}={\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{dr}}\cos .\theta -{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\theta }}{\frac {\sin .\theta }{r}}\,;$

d’où l’on déduit