Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/706

D’après les valeurs de $g,h',f',$ la première et la troisième équations (6) deviendront

$\mathrm {X} +a^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=0,\qquad \Psi +c^{2}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=0,\qquad$(8)

en remettant $\Psi$ et $\psi$ à la place de $g$ et $h,$ et faisant

${\frac {5k}{2\rho }}=a^{2},\qquad {\frac {k}{\rho }}=c^{2}.$

Ces deux équations serviront à déterminer $u$ et $\psi \,;$ quant à la seconde équation (6), elle ferait connaître la valeur de $g'',$ dont nous n’avons pas besoin.

(35) Les trois forces $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,$ respectivement parallèles aux axes des $z,y,x,$ et relatives à une section de la verge normale à son axe, auront pour valeurs :

$\mathrm {P} _{1}=-k{\frac {d\psi }{dx}}\eta ,\qquad \mathrm {P} _{2}=-k{\frac {d\psi }{dx}}\zeta ,\qquad \mathrm {P} _{3}=-{\frac {5k}{2}}{\frac {du}{dx}}.$

Cela résulte des formules du n^o 33, en ayant égard aux deux premières équations (4), et négligeant toujours le carré de de $r,$ ce qui fait disparaître la quantité $r{\frac {d\varphi }{dr}}.$

L’expression de la force $\mathrm {P} _{3},$ et la première équation (8) étant les mêmes que dans le cas de la corde élastique, les déplacements dans le sens longitudinal le seront aussi. L’équation (7) montre de plus que la dilatation longitudinale en un point quelconque, sera accompagnée d’une condensation normale, égale au quart de cette dilatation. Quand celle-ci changera de signe, et deviendra une condensation, l’autre changera de même, et deviendra une dilatation. S’il s’agit, par exemple, d’une tige verticale, posée sur un plan horizontal , et chargée à son extrémité supérieure, d’un poids