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$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\rho }{k}}\mathrm {X} +3{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+4f'+4{\frac {dg}{dx}}=0,\\&{\frac {\rho }{k}}p+{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+24g''+4f'=0,\\&{\frac {\rho }{k}}q+{\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}+8h''=0.\end{aligned}}\right\}\quad$(6)

Les équations qui viendraient ensuite nous seraient inutiles, au degré d’approximation où il suffira de nous arrêter.

En substituant les valeurs de $u',\varphi ,\psi ,$ dans les équations (4), faisant $r=\varepsilon ,$ et négligeant ensuite les termes de ces équations qui ont $\varepsilon$ pour facteur, il vient :

${\frac {dg}{dx}}+2f'=0,\qquad {\frac {du}{dx}}+4g=0,\qquad h''=0\,;$

d’où l’on tire

$g=-{\frac {1}{4}}{\frac {du}{dx}},\qquad f'={\frac {1}{8}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}.$

Nous négligerons le carré de $r$ dans les expressions de $u',\varphi ,\psi \,;$ et comme les coefficients de la première puissance sont zéro, nous aurons simplement

$u'=u,\qquad \varphi =g,\qquad \psi =h,$

c’est-à-dire qu’à ce degré d’approximation, le déplacement $u'$ parallèle à l’axe, la dilatation $\varphi$ dans le sens normal à cette droite, et l’angle de torsion $\psi$ autour de cette même droite, seront les mêmes dans une même section de la verge perpendiculaire à son axe, et varieront seulement d’une section à une autre. La dilatation normale se déduira immédiatement de celle qui a lieu dans le sens de l’axe, au moyen de la formule :

$\varphi =-{\frac {1}{4}}{\frac {du}{dx}}.\qquad$(7)