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tions deviennent, toutes réductions faites :

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\rho }{k}}\mathrm {X} '+3{\frac {d^{2}u'}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}u'}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {du'}{dr}}+4{\frac {d\varphi }{dx}}+2r{\frac {d^{2}\varphi }{drdx}}=0,\\&{\frac {\rho }{k}}\Phi +3{\frac {d^{2}\varphi }{dr^{2}}}+{\frac {9}{r}}{\frac {d\varphi }{dr}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{2}u'}{drdx}}=0,\\&{\frac {\rho }{k}}\Psi +{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}+{\frac {3}{r}}{\frac {d\psi }{dr}}=0.\end{aligned}}\right\}\quad$(5)

D’après l’hypothèse qu’on a faite sur le mode de déplacement des points de la verge, les forces données $\mathrm {X} ',r\Phi ,r\Psi ,$ devront être des fonctions de $x$ et $r$ indépendantes de $\theta ,$ comme les inconnues, $u',\varphi ,\psi .$

(34) Jusqu’ici nous n’avons pas exprimé que le rayon de la verge cylindrique fût très-petit à l’égard de sa longueur. Dans cette hypothèse, si l’on développe les valeurs de $u',\varphi ,\psi ,$ suivant les puissances de $r,$ on aura généralement des séries très-convergentes. Il n’y aurait d’exception que si ces valeurs variaient beaucoup dans l’épaisseur de la verge, et qu’elles dussent contenir le rapport ${\frac {r}{\varepsilon }}.$ C’est ce qui arriverait dans le cas du mouvement, si la verge exécutait, par exemple, des vibrations normales très-rapides, dont la durée dépendît de son épaisseur $\varepsilon \,;$ mais quoique ce genre de vibrations paraisse indiqué par l’expérience, nous ne nous en occuperons pas dans ce Mémoire : nous admettrons que les inconnues $u',\varphi ,\psi ,$ varient très-peu avec le rayon $r,$ et que leurs valeurs peuvent conséquemment se développer en séries convergentes suivant les puissances de cette variable. C’est sur la possibilité de ce développement que sont fondées essentiellement l’analyse suivante et les conséquences qui s’en déduisent

Nous supposerons, en même temps, que les valeurs don-