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$\theta =0,\qquad y=0,\qquad z=0,$

pour $x=0$ et $x=l,$ et pour toutes les valeurs de $t.$ Les vibrations longitudinales se détermineront au moyen de la première équation (5), et les transversales au moyen des deux autres ; ces trois équations ayant la même forme, on en conclut immédiatement que ces deux genres de mouvement de la corde suivront les mêmes lois : leur détermination est d’ailleurs assez connue pour qu’il nous suffise de la rappeler en peu de mots.

L’intégrale complète de la première équation (5) est

$\theta =f(x+at)+\operatorname {F} (x-at)\,;\qquad$(6)

$f$ et $\operatorname {F}$ désignant les deux fonctions arbitraires. À l’origine du mouvement, le déplacement $\theta$ et la vitesse ${\frac {d\theta }{dt}}$ sont donnés pour toute la longueur de la corde ; si l’on compte le temps $t$ à partir de cette époque, $fx$ et $\operatorname {F} x$ seront donc aussi données depuis depuis $x=0$ jusqu’à $x=l.$ En vertu des conditions relatives aux extrémités de la corde, on aura de plus

$f(at)+\operatorname {F} (-at)=0,\qquad f(l+at)+\operatorname {F} (l-at)=0,\qquad$(7)

depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty ,$ c’est-à-dire, pour toutes les valeurs positives de $at,$ en regardant la constante $a$ comme positive ; et d’après ces équations, il est facile de voir que $fx$ et $\operatorname {F} x$ seront connues pour toutes les valeurs positives ou négatives de $x,$ au moyen des valeurs données de ces fonctions depuis $x=0$ jusqu’à $x=l.$ Ainsi, par exemple, les valeurs de $\operatorname {F} x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=-l,$ seront égales et de signes contraires aux valeurs de $fx$ depuis $x=0$ jusqu’à