désignant ce que devient
quand on y met
au lieu de
2o que dans le cas particulier de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} \int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr=\mathrm {D} ,\qquad \mathrm {B} \int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr=\mathrm {D} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13e60ebada638d573618462c93432935fb68298)
ce qui fera connaître les valeurs de
et
d’après celles de
et ![{\displaystyle \mathrm {D} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fea1fbb989b74fa193897423e9a84d4acb13475)
L’intégrale que ces formules renferme s’obtient facilement, car on a
![{\displaystyle \int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr=\int _{0}^{l}(\mu \,r\cos .\mu \,r-\sin .\mu \,r)d.{\frac {\sin .\mu \,r}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c531ceec2e52d618816a8f5459e48f9fdbeed6)
en intégrant par partie, il vient
![{\displaystyle \int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr=(\mu \,l\cos .\mu \,l-\sin .\mu \,l){\frac {\sin .\mu \,l}{l}}+\mu ^{2}\int _{0}^{l}\sin .^{2}\mu \,r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4557cc82ce1919bc3a0a21bc69dd472d005d7a9)
et en achevant l’intégration, il en résulte
![{\displaystyle \int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr={\frac {1}{2l}}\left(\mu ^{2}l^{2}+\mu \,l\sin .\mu \,l\cos .\mu \,l-2\sin .^{2}\mu \,l\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc67da78ad5ea6bf70a9970af0a12f86189cce0e)
Maintenant que la formule (5) ne contient plus rien d’inconnu, les valeurs de
et,
qui s’en déduisent feront connaître à chaque instant le déplacement et la vitesse d’un point quelconque de la sphère ; ce qui est la solution complète du problème que nous avions à résoudre. Ces valeurs devant subsister pour toutes celles de
en y faisant
on aura les valeurs initiales du déplacement et de la vitesse, et, par suite, des expressions de
et
sous forme de séries, qui seront équivalentes à ces deux fonctions arbitraires depuis
jusqu’à