Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/670

$\mathrm {R} '$ désignant ce que devient $\mathrm {R}$ quand on y met $\mu '$ au lieu de $\mu \,;$ 2^o que dans le cas particulier de $\mu '=\mu ,$ on aura

$\mathrm {A} \int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr=\mathrm {D} ,\qquad \mathrm {B} \int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr=\mathrm {D} ',$

ce qui fera connaître les valeurs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ d’après celles de $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} '.$

L’intégrale que ces formules renferme s’obtient facilement, car on a

$\int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr=\int _{0}^{l}(\mu \,r\cos .\mu \,r-\sin .\mu \,r)d.{\frac {\sin .\mu \,r}{r}}\,;$

en intégrant par partie, il vient

$\int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr=(\mu \,l\cos .\mu \,l-\sin .\mu \,l){\frac {\sin .\mu \,l}{l}}+\mu ^{2}\int _{0}^{l}\sin .^{2}\mu \,r\,;$

et en achevant l’intégration, il en résulte

$\int _{0}^{l}\mathrm {R} ^{2}dr={\frac {1}{2l}}\left(\mu ^{2}l^{2}+\mu \,l\sin .\mu \,l\cos .\mu \,l-2\sin .^{2}\mu \,l\right).$

Maintenant que la formule (5) ne contient plus rien d’inconnu, les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dr}}$ et, ${\frac {d^{2}\varphi }{drdt}}$ qui s’en déduisent feront connaître à chaque instant le déplacement et la vitesse d’un point quelconque de la sphère ; ce qui est la solution complète du problème que nous avions à résoudre. Ces valeurs devant subsister pour toutes celles de $t,$ en y faisant $t=0,$ on aura les valeurs initiales du déplacement et de la vitesse, et, par suite, des expressions de $fr$ et $f'r$ sous forme de séries, qui seront équivalentes à ces deux fonctions arbitraires depuis $r=0$ jusqu’à $r=l,$