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l’équation (1) se réduira à

${\frac {d^{2}\varpi }{dt^{2}}}=a^{2}{\frac {d^{2}\varpi }{dr^{2}}}.$

On y satisfait en prenant

$\varpi =(\mathrm {A} \cos .\mu \,at+\mathrm {B} \sin .\mu \,at)\sin .\mu \,r+(\mathrm {A} '\cos .\mu \,at+\mathrm {B} '\sin .\mu \,at)\cos .\mu \,r$

$\mathrm {A,B,A',B'} ,\mu ,$ étant des quantités indépendantes de $r$ et $t\,;$ on y satisfait aussi au moyen de la somme de plusieurs valeurs de @, exprimées par cette formule ; et si l’on étend cette somme à toutes les valeurs possibles de $\mathrm {A,A',B,B'} ,\mu ,$ on aura l’expression la plus générale de $\varpi .$ Donc, en indiquant cette somme, comme la précédente, par la caractéristique $\sum ,$ l’intégrale complète de l’équation (1) sera

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{r}}\sum \left[(\mathrm {A} \cos .\mu \,at+\mathrm {B} \sin .\mu \,at)\sin .\mu \,r\right.\\&+\left.(\mathrm {A} '\cos .\mu \,at+\mathrm {B} '\sin .\mu \,at)\cos .\mu \,r\right]-\sum {\frac {1}{m^{2}}}(\mathrm {C} \cos .mt+\mathrm {C} '\sin .mt).\end{aligned}}$

Dans l’hypothèse que nous avons faite sur le mouvement des points de la sphère, son centre doit être immobile ; on aura donc $\theta ={\frac {d\varphi }{dr}}=0,$ pour $r=0$ et quelque soit $t\,;$ condition qui exige que les coefficients $\mathrm {A} '$ et $\mathrm {B} '$ soient nuls. D’ailleurs on peut supprimer la seconde somme $\sum ,$ qui n’influerait pas sur les déplacements des points de la sphère, exprimés par les différences partielles de $\varphi$ relatives à leurs coordonnées. Nous aurons donc simplement

$\varphi =\sum (\mathrm {A} \cos .\mu \,at+\mathrm {B} \sin .\mu \,at){\frac {\sin .\mu \,r}{r}}.\qquad$(2)

(18) À la surface, je supposerai la sphère soumise à une