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Ces trois équations sont par rapport à une portion quelconque du corps ce qu’étaient les équations (3) relativement à un élément infiniment petit de sa masse. Si une partie de la surface de cette portion appartient à la surface même du corps, on aura, en tous ses points, $\gamma =c'',$ $\beta =c',$ $\alpha =c,$ et, d’après les équations (4), celles que nous venons de former deviendront

$\left.{\begin{alignedat}{2}\int \mathrm {X} dm&=\int \mathrm {\left(\gamma P_{1}+\beta P_{2}+\alpha P_{3}\right)} ds&&-\int \mathrm {X} _{1}ds,\\\int \mathrm {Y} dm&=\int \mathrm {\left(\gamma Q_{1}+\beta Q_{2}+\alpha Q_{3}\right)} ds&&-\int \mathrm {Y} _{1}ds,\\\int \mathrm {Z} dm&=\int \mathrm {\left(\gamma R_{1}+\beta R_{2}+\alpha R_{3}\right)} ds&&-\int \mathrm {Z} _{1}ds\,;\end{alignedat}}\right\}\quad$(5)

les premières intégrales des seconds membres répondant aux portions de surface tracées dans le corps, et les secondes à celles qui appartiennent à sa superficie.

(12) S’il s’agit du corps entier, les équations (5) ne contiendront plus que les forces données qui agissent à l’intérieur et à la surface du corps, et elles se réduiront à

$\int \mathrm {X} dm+\int \mathrm {X} _{1}ds=0,\quad \int \mathrm {Y} dm+\int \mathrm {Y} _{1}ds=0,\quad \int \mathrm {Z} dm+\int \mathrm {Z} _{1}ds=0.$

Ce sont ces équations qui expriment que le corps ne peut prendre aucun mouvement de translation, commun à tous ses points. On déduira de même des équations (3) et (4), celles qui expriment qu’aucun mouvement de rotation, commun à tous les points du corps, ne peut non plus avoir lieu. En effet, d’après les deux premières équations (3) et (4), et la remarque qui termine le n^o 7, on aura