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L’épaisseur d’un des montants $mn$

$=z_{_{\scriptscriptstyle {II}}},$

Celle des madriers auxquels ils servent d’appui

$=\mathrm {Z} _{_{\scriptscriptstyle {II}}}.$

L’épaisseur d’une des entre-toises $nq$

$=z_{_{\scriptscriptstyle {III}}},$

Celle des madriers du radier

$=\mathrm {Z} _{_{\scriptscriptstyle {III}}}.$

La distance du milieu d’un montant $mn$ et de l’entre-toise $nq$ [fig. 5 et 4] au milieu du montant $m'n',$ et de l’entre-toise $n'q',$ immédiatement consécutifs

$=s+b,$

Le nombre de travées comprises d’une tête de l’écluse à l’autre sera

$={\frac {\mathrm {L} }{s+b}}.$

Enfin, le nombre des montants et des entretoises

$={\frac {\mathrm {L} }{s+b}}+1.$

Cela posé, on trouve aisément

${\begin{aligned}&\operatorname {F} _{_{\scriptscriptstyle {I}}}(x)=2l(h+x)z_{_{\scriptscriptstyle {I}}}\,;\\&\operatorname {F} _{_{\scriptscriptstyle {II}}}(x)=2(h+x)\left[\left({\frac {\mathrm {L} }{s+b}}+1\right)bz_{_{\scriptscriptstyle {II}}}+\mathrm {LZ} _{_{\scriptscriptstyle {II}}}\right]\,;\\&\operatorname {F} _{_{\scriptscriptstyle {III}}}(x)=l\left[\left({\frac {\mathrm {L} }{s+b}}+1\right)bz_{_{\scriptscriptstyle {III}}}+\mathrm {LZ} _{_{\scriptscriptstyle {III}}}\right]\,;\end{aligned}}$

et par conséquent, en faisant les réductions convenables :

(XIII)

$d\left\{{\begin{aligned}&{\frac {a}{x}}\left\{2p_{_{\scriptscriptstyle {I}}}l(h+x)z_{_{\scriptscriptstyle {I}}}+b\left({\frac {\mathrm {L} }{s+b}}+1\right)\left(2p_{_{\scriptscriptstyle {II}}}(h+x)z_{_{\scriptscriptstyle {II}}}+lp_{_{\scriptscriptstyle {III}}}z_{_{\scriptscriptstyle {III}}}\right)\right.\\&\qquad \qquad {\bigg .}+\mathrm {L} \left(2p_{_{\scriptscriptstyle {II}}}(h+x)\mathrm {Z} _{_{\scriptscriptstyle {II}}}+p_{_{\scriptscriptstyle {III}}}l\mathrm {Z} _{_{\scriptscriptstyle {III}}}\right){\bigg \}}\end{aligned}}\right\}=0\,;$

de laquelle, après avoir substitué aux épaisseurs $z_{_{\scriptscriptstyle {II}}}$ et $\mathrm {Z} _{_{\scriptscriptstyle {II}}},$ $z_{_{\scriptscriptstyle {III}}}$ et $\mathrm {Z} _{_{\scriptscriptstyle {III}}}$ les valeurs qui leur conviennent, on tirera la valeur de $x,$ propre à rendre la dépense cherchée $\mathrm {P} _{_{\scriptscriptstyle {I}}}+\mathrm {P} _{_{\scriptscriptstyle {II}}}+\mathrm {P} _{_{\scriptscriptstyle {III}}}$ la moindre possible.

(40) Portes. Nous avons, comme ci-dessus (24),