Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/389

ment

(23)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\varpi (z)-(z-x)\varpi '(z)}{z-x-h\varpi (z)}}&={\frac {1}{h}}{\frac {h\varpi (z)-h(z-x)\varpi '(z)}{z-x-h\varpi (z)}}\\&={\frac {1}{h}}\left\{(z-x){\frac {1-h\varpi '(z)}{z-x-h\varpi (z)}}-1\right\}\,;\end{aligned}}\right.$

puis, en nommant

$\zeta ,\,\zeta _{1},\,\zeta _{2},{\text{etc}}\ldots$

les diverses racines de l’équation $z-x-h\varpi (z)=0,$ et supposant cette équation algébrique,

(24)

${\frac {1-h\varpi '(z)}{z-x-h\varpi (z)}}={\frac {1}{z-\zeta }}+{\frac {1}{z-\zeta _{1}}}+{\frac {1}{z-\zeta _{2}}}+{\text{etc}}\ldots$

Cela posé, en ayant égard à l’équation (23), on tirera de la formule (13),

(25)

$\psi (z)={\frac {z-\zeta }{h}}\left\{(z-x){\frac {1-h\varpi '(z)}{z-x-h\varpi (z)}}-1\right\}\left[\varpi (z)\right]^{n-1}f(z)\,;$

et l’on trouvera encore, en ayant égard à la formule (24),

(26)

$\psi (z)={\frac {1}{h}}\left\{\zeta -x+(z-x)\left({\frac {z-\zeta }{z-\zeta _{1}}}+{\frac {z-\zeta }{z-\zeta _{2}}}+\ldots \right)\right\}\left[\varpi (z)\right]^{n-1}f(z)$

$=\left[\varpi (\zeta )\right]\left[\varpi (z)\right]^{n-1}f(z)+{\frac {z-x}{h}}\left({\frac {z-\zeta }{z-\zeta _{1}}}+{\frac {z-\zeta }{z-\zeta _{2}}}+\ldots \right)\left[\varpi (z)\right]^{n-1}f(z).$

§ III.

Il est facile de calculer directement la somme

(27)

$f(x)+{\frac {h}{1}}f'(x)\varpi (x)+{\frac {h^{2}}{1.2}}{\frac {d\left\{f'(x)[\varpi (x)]^{2}\right\}}{dx}}+{\text{etc}}.$

dans le cas où, la série