Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/387

§ II.

Pour obtenir, sous forme d’intégrale définie, la valeur de $r_{n},$ il suffit de remarquer qu’on a généralement

(14)

$\psi (z)=\psi (x)+{\frac {z-x}{1}}\psi '(x)+\ldots +{\frac {(z-x)^{n-1}}{1.2\ldots (n-1)}}\psi ^{(n-1)}(x)$

$+{\frac {(z-x)^{n}}{1.2\ldots (n-1)}}\int _{0}^{1}u^{n-1}\psi ^{(n)}\left[z-u(z-x)\right]du.$

Or, si l’on substitue la valeur précédente de $\psi (z)$ dans l’équation (12), en observant que l’on a, pour toutes les valeurs entières et positives de $m,$

${\mathcal {E}}{\frac {1}{(((z-x)^{m}(z-\zeta )))}}=0,$

on trouvera

(15)

$r_{n}={\frac {h^{n}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\mathcal {E}}{\frac {\int _{0}^{1}u^{n-1}\psi ^{(n)}\left[z-u(z-x)\right]du}{((z-\zeta ))}},$

ou, ce qui revient au même,

(16)

$r_{n}={\frac {h^{n}}{1.2.3\ldots (n-1)}}\int _{0}^{1}u^{n-1}\psi ^{(n)}\left[\zeta -u(\zeta -x)\right]du.$

Ainsi, pour obtenir le reste $r_{n}$ de la série de Lagrange, il suffit de multiplier le rapport

(17)

${\frac {h^{n}}{(\zeta -x)^{n}}}$

par l'expression

(18)

${\frac {(\zeta -x)^{n}}{1.2.3\ldots (n-1)}}\int _{0}^{1}u^{n-1}\psi ^{(n)}\left[\zeta -u(\zeta -x)\right]du$

qui représente le reste de la série à laquelle on parvient,